114年 - 114 臺南市市立國民中學_正式教師聯合甄選試題：數學專門科目#128066

1. 化簡=？(A) 3 (B) 4 (C) (D)

2. 估算 0.997⁵⁰到小數點後兩位=？(A) 0.84 (B) 0.85 (C) 0.86 (D) 0.87

3. 令函數f(x) = ，下列哪一個選項最符合f(x)在x = 0時的敘述？(A) 不連續 (B) 連續但不可微分 (C) 連續且可微分 (D) 不連續且不可微分

4. 在直角三角形 ABC 中，直角在 A 點且 = 2、= 4。點 P 在邊 BC 上，它是∠BAC 的角平分線與邊 BC 交點。 求點 P 到邊 AC 的距離？ (A) (B) (C) (D)

5. 三角形 ABC 滿足=13、=14 和=15。一個半徑為 R 的半圓，其圓心在邊 BC 上，並且與邊 AB 和 AC 相切。計算 R 的值最靠近下列哪個整數？(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

6. 令 k 為自然數，求 10^k 除以 13 的餘數有多少種？(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

7. 求 =？(A)(B)(C) 1 (D) 2

8. 設r₁、r₂是的兩個平方根，求r₁ − r₂可能是？(A) (B) (C) 0 (D) 2

9. 下列有關 a＝－log₁₀14.4，b＝－log₁₀0.4，c＝－log₁₀4.4 三數的大小關係，試選出正確的選項。(A) a ＞ b ＞ c (B) a ＞ c ＞ b (C) b ＞ a ＞ c (D) b ＞ c ＞ a

10. 若 a = ，試選出 a，b，c 的大小關係。(A) c ＜ b ＜ a (B) a ＜ b ＜ c (C) b ＜ c ＜ a (D) c ＜ a ＜ b

11. 已知多項式f(x) =x + 1，則g(x) = [f(x)]²⋅ (f(x) + 1)的次數為何？(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12

12. 下列各函數圖形中，何者週期最小？(A) y = cos(B) y = sin 3x (C) y = −2 cos x (D) y = cos x + | cos x |

13. 令 a＝2.1⁷－2.1⁶，b＝2.1⁶－2.1⁵，c＝。請選出正確的大小關係？(A) a＞c＞b (B) c＞b＞a (C) b＞a＞c (D) b＞c＞a

14. △ ABC中，邊長BC = 12，且三角形的另外兩內角∠B = 85°，∠C = 35°，求此三角形的外接圓半徑為何？(A)6 (B)12 (C)(D)

15. 已知三角函數值cos(2θ − 30° ) , cos(2θ) , cos(2θ + 30° )依序成為一個等差數列，試問0 ° ＜ θ ＜ 180°時有幾個不同的解？ (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4 個

16. 某研究團隊設計一台小型繪圖機器人，能依據標記點畫出封閉圖形。下列是地面上記錄的四個標記點：(0, 0)、(2, 3)、 (4, -1)、(1, -3)。若任選三點組成一個三角形，請問該機器人可畫出最大的三角形面積是多少？ (A) 7 (B)8 (C)9 (D) 10

17. 如圖(一)，A 為長和寬分別為 4 和 2 的矩形，B 為 A 之外接矩形(矩形 A 的四個頂點位於矩形 B 的邊上)， 則矩形 B 最大面積為何？
(A) 15 (B) 16 (C) 17 (D) 18

18. 設 a、b、c 為實數，若二次函數 f (x)=ax² + bx + c 的圖形通過(0, −1)且與 x 軸相切。有關此二次函數各項係數的性質或關係，五位學生提出說明如下：
甲生：a ＜ 0 乙生：b ＞ 0 丙生：c = −1
丁生：b² + 4ac = 0 戊生：a + b + c ≤ 0
請問：以上誰的說明正確？(A)只有甲、乙和丁 (B)只有甲、乙和戊(C)只有甲、丙和戊 (D)只有乙、丙和丁

19. 「排數卡算總和」。小明利用數字卡 1，2，3，4 排出不同的四位數，並將所有組成的四位數相加，求得總和。若將總和以 5 除之，求其商為何？ (A) 2 (B) 4 (C) 6666 (D) 13332

20. 如圖(二)， 若△OBE 的面積為 5，△OBC 的面積為 10，△OCD 的面積為 8，試求四邊形 AEOD 的面積為何？
(A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 24

21. 所有內角的度數皆為相異正整數的凸 n 邊形，求 n 的最大值為何？(A) 25 (B) 26 (C) 27 (D) 28

22. 若 a、c、d 為整數，b 為正整數，且滿足 a + b = c，b +c =d，c + d =a。求 a+ b+c+ d 的最大值為何？(A) −5 (B) −1 (C) 0 (D) 1

23. 若 25^x=2000，80^y =2000，求　 之值為何？(A) (B) 1 (C)(D) 2

24. 數學上著名的「費波那契數列」(Fibonacci Sequence)是以義大利數學家 Leonardo Pisano 的暱稱 Fibonacci 命名，它是 由一連串數字組成，其中，每個數字等於前兩個數字的和(a_n = a_n−1 + a_n−2)。大雄仿照「費波那契數列」的部分規 則，寫了一個滿足「a_n = a_n−1 + a_n−2，其中n ≥ 3，且a₅ = 59」的整數遞增數列a₁, a₂, a₃, … …。請問：a₁最大可能值 為何？ (A) 7 (B) 10 (C) 11 (D) 12

25. 若 ( a，b)  為對數函數 y  = log_２x 圖形上的一點，則下列選項何者正確？ (A) ( a－1,b ) 為函數y = log_２( x－1) 圖形上的一點 (B) ( b+1,a )  為函數 y=2^x+1圖形上的一點 (C) (2a , b)  為函數  y x = (log₂x ) -1 圖形上的一點 (D) (b^-1 ,a ) 為函數y=2^-x圖形上的一點

26. 已知聯立不等式之解的範圍為下圖(三)灰色三角形區域，則下列選項何者正確？
(A) a >0 (B) b> 0 (C) c> 0 (D) de> 0

27. 設 f(x) 為首項係數為正的三次實係數多項式，並且滿足  f (1+2i ) =f(1 +) =0 ，其中 i = ，則下列選項中的敘 述，何者正確？ (A) f (0)< 0  (B) (C) f (x)=3沒有實數解 (D) y=f(x ) 的圖形與 x 軸至少有 2 個交點

28. 設函數，則下列選項中的敘述，何者正確？(A)f(x )是週期函數且週期為2π(B)f(x)的振幅是(C)y=f(x)的圖形和x軸有無限多個交點(D)f(x)的最大值是

29. 設複數 ，其中 r >0、0 ≤θ<2π ，則 θ 之值為何？(A)(B)(C)(D)

30. 設 x 為整數，且無窮數列收斂，則滿足條件的 x 有幾個？(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16

31. 設 ，則 f'(x) = ？ (A)(B) (C)(D)

32. 設矩陣且det( A )=6，則det( B ) =？(A) −2400(B) −360(C) −120(D) 120

33. 已知三條直線 L₁：x + (2 − m)y + 3 = 0，L₂：x + 2y + (3 − m) = 0 和L₃：(1 − m)x + 2y + 3 = 0，若此三直線共同交於同一點，則 m =？(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 10

34. 已知 A(a , b) 為圓 x² + y² = 1 上的一點，試求的最小值為何？ (A) 36 (B) 40 (C) 49 (D) 54

35. 烘焙課中，學生需從主食材區選 2 種材料(雞蛋、牛奶、麵粉、堅果、蜂蜜)，並從配料區選 3 種配料(巧克力酒、蘭姆葡萄乾、草莓乾、椰子絲、香蕉片、花生醬)。其中，巧克力酒與蘭姆葡萄乾含酒精。若學生選擇的材料中同時包 含「堅果」與任一含酒精配料，則會引發過敏反應。試問學生隨機選擇材料時，發生過敏的機率為何？ (A) (B)(C) (D)

36. 快樂旅行社推出一項高額旅遊保險，旅客支付 2400 元即可投保，若在旅遊期間不幸發生意外身故，則可獲得1200 萬元理賠金。根據統計資料顯示，旅客於旅程中發生致命意外的機率為 0.0001。試問對旅行社而言，每張保單的
期望利潤為多少？(A) 400 (B) 800 (C) 1200 (D) 1600

37. 整數 9⁶ 的所有正因數的乘積為何？(A) 9¹⁸ (B) 9 ²⁷ (C) 9³⁹ (D) 9⁴²

38. 試求三向量 = (1, −1, 3) = (2, 1, 0)，= (4, −1, 4) 所張開的平行六面體體積為何？(A) 6 (B) 10 (C) 12 (D) 24

39.試求= ？(其中[x]表示高斯符號)(A) 465 (B) 489 (C) 503 (D) 519

40. 若平面區域 (x − 2) ² + y² ≤ 4 繞 y 軸旋轉一周後形成旋轉體，則該體積為何？ (A) 4π² (B) 8π ² (C) 16π² (D) 32π²