107年 - 107 嘉義高中科學班科學能力檢定：數學#106516

科目：高中◆資優◆數學 | 年份：107年 | 選擇題數：0 | 申論題數：22

試卷資訊

所屬科目：高中◆資優◆數學

選擇題 (0)

申論題 (22)

1. 已知，求 (x, y) =__________。

2. 已知 x + y = 3，xy = −2，求 x ⁴ + x ³ + x ² + x + y ⁴ + y ³ + y ² + y =__________。

3. 已知 n 為正整數，且 n² + 10n + 3 為兩個連續正整數之乘積，求 n 的最大值為 __________。

4. 已知 x、y 為實數，若 x ² + 2y ² = 1，則 6x + 11y ² 的最大值為M且最小值為 m，求M + m =__________。

5. 設 f(n) 表示 1 + 2 + 3 + ⋯ + n 的個位數字。例如：1 + 2 + 3 + ⋯ + 9 = 45 ，則f(9) = 5。求 f(1) + f(2) + f(3) + ⋯ + f(2018) =__________。

6. 將 1 連續寫到 2018 ，所得的數為 a = 123456789101112 ⋯ 20172018 ，求 a ÷ 180 的餘數為 __________。

7. 甲乙兩人在操場上跑步，兩人同時從同一點順時針出發，甲的速度是乙的速度的 k 倍，甲乙皆為等速度且 k ＞ 1 。當甲第一次從背後追上乙，甲立即轉身且以原速度逆時針跑，當兩人再次相遇，乙恰好總共跑了三圈。求 k =__________。

8. 擲一個公正骰子三次，所擲出的點數依序為 a、b、c，則使得函數

的圖形為一直線，此時數對 (

9. 若 √2015 × 2016 × 2017 × 2018 + 1 = A + 2018² ，則 A =__________。

10. 已知 f (x ) = ax ² + bx + c，且，求 f (11) =__________。

11. [x ] 表示等於或小於 x 的最大整數（例如：[3.9] = 3，[6] = 6）。若正實數 ? 不為整數且滿足 x + ，則 x =__________。

12. 如右圖，點 E、F 分別為長方形 ABCD 邊上的點，已知 △ ABE 的面積為 24，△ ECF 的面積為 6，△ FDA 的面積為 8，求矩形 ABCD 的面積為 __________。

13. 如下圖，已知等腰 △ ABC 中，圓 O 為 △ ABC 的內切圓，為邊上的高，點 E 為與圓 O 在 △ ABC 內部的交點。延長交於點 F ，若與垂直，且圓 O 的半徑為 1，則 =__________。 ̅̅̅̅

14. 如下圖，長方形 ABCD 中，= 2，P 為在上的動點，連接並將其延長，交於 E，欲使 △ PDE 與 △ CBP 兩者面積和最小，此時=__________。

15. 如右圖，△ ABC 為正三角形，D、E、F、G、H、I 分別為邊上的三等分點，連得一個三角形 △ PQR。已知 △ PQR 的面積 = 1，求 △ ABC 的面積為 __________。

16. 如下圖，半徑為 5 的圓內有兩弦，兩弦長度皆為 8 。設點 P 在上，點Q在上，點 R、S 在圓上，且 PQRS 為正方形，求此正方形邊長為 __________。

17. 如下圖，分別以 A、B、C 為圓心， 1、2、3 為半徑的三個圓都在直線 L 的同側，分別與直線 L 切於 A′、B′、C′ ，且點 B′ 在點 A′ 與 C′ 之間，若圓 B 分別與圓 A 和圓 C 外切，則 △ ABC 的面積為 __________。

【已刪除】 (1) 令 Q 1 為 CD AQ 1 與 ̅̅̅̅ BD 的交點。此時得 △ DQ 1 P1 。

【已刪除】(2) 令 Q 2 為過 P1 垂直於 ̅̅̅̅ CD 的垂足，P2 為 ̅̅̅̅̅AQ 2 與 ̅̅̅̅ BD 的交點。此時得 △ DQ 2 P2 。 ̅̅̅̅ 的垂足，P3 為 ̅̅̅̅̅

【已刪除】(3) 令 Q 3 為過 P2 垂直於 CD AQ 3 與 ̅̅̅̅ BD 的交點。此時得 △ DQ 3 P3 。請以步驟 (2)、(3) 的規則繼續類推下去。假設 f(i) 表示 △ DQ i Pi 的面積，則 f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f(20) =__________。

19. 已知 P = ，求 P 的最小值為 _________。

20. 設 f (x ) = x ² + ax + b，若 f(f (x )) = f(x) 的解為 x = −3 或 − 2 或 4 或 5，則數對 (a, b) =__________。