112年 - 112 高雄中學科學班入學考試題：數學#119145

1. 已知a為二次方程式3x²-2x-663=0的一個解，試求的值。

2. 設 x ＞ 0，且，試求的值。

3. 已知實數 a,b,c 滿足 a ≥ 0，b ≥ 1，c ≥ -1 以及 a+4b + c + 3 =，試求 a+b+c的值。

5. 有一個填符號遊戲，只要在最下層的O中填入符號「+」或「-」，則上層中所有的O就會自動顯示符號「+」 或「-」其中之一。規則如下：
(1) 若相鄰的兩個O中符號相同，則上面的O顯示「+」，如圖一所示
(2) 若相鄰的兩個O中符號不同，則上面的O顯示「-」，如圖二所示
在圖三中，若要使得最上層的O中顯示「+」，則最下層有多少種填法？

6. 將正整數1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…依下列規則排列，若將橫排稱為列，直排稱為行，我們可以用列與行來描述某個正整數的位置。例如：第2列第3行的數字為9。若2023在第m列第n行，試求數對（m,n）。

7. 如右圖，以為直徑作半圓，O為圓心，C為中點。為圓O的切線，，若D為此半圓上的一點且，試求的長。

8. △ABC中，，I為△ABC的內心，過I作平行的直線分別交於D,E兩點，試求 的長。

9. 在直角三角形△ABC中，∠A = 90°，= 13，= 12。已知存在一圓，其圓心落在線段上，該圓通過點A，且與線段相切，試求此圓的面積。

10. 已知銳角三角形△ABC的外心為O，線段的中點分別為M,N。假設∠ABC = 4∠OMN、∠ACB = 6∠OMN，試求角度∠OMN。

11. 在直角坐標平面上，O為原點，方程式3x-y=0所表示的圖形為直線L，點A的坐標為(0,3)，點P在直線L上，若△AOP為等腰三角形，試求點P的坐標。(答案不止一解)

14. 等腰直角三角形△ABC中，∠A = 90°，點D落在邊上且=6、= 2 。四邊形DEFG為正方形，落在三角形△ABC內部，點F落在邊上，且。若，則正方形DEFG的面積為何？

16. 說明S =不是一個正整數。(8%)