110年 - 全國科學班聯合學科資格考 數學#106665

1.如圖，長方形 ABCD 中， ， E 在 上且 = 2 :1 ， F 為 上一點滿足 ∠EFC = ∠DCF ， 則 tan(∠AFE ) 為下列哪一個選項？ (A) (B) (C)   (D) (E)

2.給定空間中四點 A(1, 2, 0) 、 B(2, 0,1) 、 C (0,1, 2) 、 D(9,5,1) 。設 ABC 的重心為 G 點、 BCD 的重心為 H 點，則下列選項何者正確？(A) G 點座標為 (1,1, -1) 。(B) 直線 的參數式為 ， t 。(C) 直線 與直線 沒有交點。(D) 外積 = (1,1,1) 。

(E) 空間中滿足 的點 P 只有一個。

4.設 ，且矩陣 A 滿足 。已知矩陣 A 為轉移矩陣且矩陣 A 為不可逆。  若試選出正確的選項。  (A) α =δ 。 (B) γ = β 。 1 (C) α + β = 。 3 (D) α + δ = β + γ 。 (E) a₁ + b₁ = ₂ 。 

5.已知 P 點為 △ABC 內部一點，則下列敘述何者為真？(A) 存在正數 α 、 β 且 α + β > 1 ，使得 。(B) 若 = 0 且 = 0 ，則 = 0 。(C) 若 ，則 。(D) 若 ，則 △ABC 為銳角三角形。
(E) 為 BC 中點，若存在正數 α ，使得 成立，則△ABC 為正三角形。

C.平面上有一個中心為 O 點， F₁、 F₂ 為兩焦點的橢圓 Γ₁ ，且 A 點為其短軸上其中一個頂點。另有一個以 O 點為焦點， A 點為頂點，且過 F₁、 F₂ 的拋物線 Γ₂ 。已知 Γ₁ 與 Γ₂ 有 P 、Q、 A 三個交點，則 ＝___________。

D.△ABC 中，已知 M 為 中點，點 P、Q 分別在 上，且 ， ， ∠PMQ 90° 。 試求 cos A 的值為___________。