109年 - 109 身心障礙學生升學大專校院甄試 (四技二專組)試題-共同：數學C#145095

1. 若 \( A(0,-1) \), \( B(a,2) \), \( C(4,-3) \), \( D(-2,b) \) 四點共線，則 \( a+b = ? \)
(A) -5
(B) -6
(C) -7
(D) -8

2. $(\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ})^{2}+(\cos 75^{\circ}+\cos 15^{\circ})^{2}=?$

(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1

3.若 \(\triangle ABC\) 中, \(a, b, c\) 分別為 \(\angle A, \angle B, \angle C\) 的對邊, 且 \((a+b+c)(a+b-c) = 3ab\), 則 \(\angle C = ?\)
(A) \(30^{\circ}\)
(B) \(45^{\circ}\)
(C) \(60^{\circ}\)
(D) \(90^{\circ}\)

4. 設 a,b,c,d為實數，若 \((x-1)^3+2(x-1)^2+3(x-1)+4 = a(x+2)^3+b(x+2)^2+c(x+2)+d\)，則 \(a+b+c+d = ?\) (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 2

5. 已知 \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\) 的整數部分為 \(a\)，小數部分為 \(b\)，求 \(a+\frac{1}{b}=\)? (A) \(2+\sqrt{3}\) (B) \(2-\sqrt{3}\) (C) \(3+\sqrt{2}\) (D) \(3-\sqrt{2}\)

6. 若方程組

有無限多組解，則實數 k= ? (A) -58 (B) 58 (C) -29 (D) 29

7. 若 不 等 式 \( ax^2 + bx + c < 0 \) 的 解 為 \( -2 < x < 5 \) ， 則 滿 足 不 等 式 \( ax^2 + 3bx - 2c > 0 \) 的 所 有 解 \( x \) 為 何 ？ (A) \( x < 4 \) (B) \( x > 5 \) (C) \( 4 < x < 5 \) (D) \( x < 4 \) 或 \( x > 5 \)

8. 利用二項式定理計算 $11^{19}$ 除以 100 的餘數為何？

(A) 11
(B) 19
(C) 90
(D) 91

9. 假設資料 $1, 2, 3, \dots, n$ 的樣本標準差為 $\sqrt{10}$，且 $\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}{n - 1} = 26$，

試求 $\frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n - 1} = ?$

(A) 9
 (B) 8
 (C) 7
 (D) 6

10. 擲一均勻骰子兩次的期望值為何？

(A) 6
 (B) 7
 (C) 8
 (D) 9

11. 如圖所示，平面上平行四邊形 ABCD，其中線段 \(\overline{AC}\) 中點 O 座標為 (2,5)，向量 \(\vec{AB} = (2,-5)\) 且向量 \(\vec{BC} = (4,3)\)，則點 D 的座標為何？ (A) (4, 9) (B) (3, 8) (C) (3, 9) (D) (4, 8)

12. 已知三個向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的長度 $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=4$, 且內積 $\vec{a} \cdot \vec{c}=3$ 以及 $\vec{b} \cdot \vec{c}=5$, 則 $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) = ?$ (A) 27 (B) 17 (C) 15 (D) 13

13. 已知 \(i = \sqrt{-1}\)，\(a, b\) 為實數且 \((1+i)^5 = a+bi\)，則 \(a^2+b^2 = ?\) (A) \(4\sqrt{2}\) (B) 16 (C) \(16\sqrt{2}\) (D) 32

14. 已知 \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\) 為等差數列，若 \(a_2 + a_4 + a_6 = 45\)，\(a_1 + a_3 + a_5 = 33\)，則首項 \(a_1 = ?\) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

15. 化簡 \(\log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8\) 可得下列何式？ (A) 4 (B) \(\log_2 (3 \cdot 5 \cdot 8)\) (C) 3 (D) \(\frac{3}{2} + \frac{5}{3} + \frac{8}{5}\)

16. 下列何者正確？ (A) \(2^{3^5} < (2^3)^5\) (B) \(2^{3^5} = 2^{(3 \cdot 5)}\) (C) \((2^3)^5 = 2^{(3+5)}\) (D) \(2^{(3+5)} = 2^3 \cdot 2^5\)

17. 若圓 \( C: (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \) 與 \( y=3x \) 相交於兩點 \( A, B \)，則線段 \( \overline{AB} \) 的中點為何？ (A) \( (1, 5) \) (B) \( (\frac{3}{2}, \frac{9}{2}) \) (C) \( (2, 4) \) (D) \( (\frac{5}{2}, \frac{7}{2}) \)

18. 已知雙曲線 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)，則其兩焦點的距離為何？ (A) \(2\sqrt{13}\) (B) 10 (C) \(2\sqrt{5}\) (D) 5

19. 設 \( f(x), g(x) \) 為可微函數，若 \( f(1)=5, g(1)=-3, f'(1)=4 \)，

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

20. 設 \( f(x) = x^3 - 3x \)，則 \( f(x) \) 在 \( [-3, 1] \) 中的最大值為何？ (A) -2 (B) 2 (C) 3 (D) 18