所屬科目:教甄◆數學
1. 已知 w 和 z 是兩個複數且滿足|w|=3 ,|z|=4 ,若,則 tan2θ的最大值為________。
2. 設函數f(x)=在 x=α時,有最小值 f(α)=β,試求數對(α,β) = _________。
3. 設△ABC 中,∠BAC=60°, ,D 在上,且是∠BAC的角平分線,若 P 是線段上的動點,則(PB+2PC)•PA的最小值為何?__________
4. 一正方形紙張 ABCD,設點 E, F 分別在邊上,且=2:1。現以正方形 ABCD為底面,分別將B, D以為谷摺線向上摺起,使得重合,並令重合後的點 B=D=G。此時,若側面△AEG(或△AFG)與鳶形底面 AECF的夾角為θ ,則sinθ=______。
6. 若 S 是滿足0 < x ≤ 1、0 < y ≤ 1且均為奇數的坐標( x, y )所組成的集合,則集合 S 所表示的圖形面積為________。([x]表不大於 x 的最大整數)。
7. 考慮集合的子集 S ,其中集合 S 的元素個數為1000。若從滿足上述條件中的每個集合 S 裡挑選出最小的元素,則所有這些最小元素的算術平均數為________。
8. 設數列,試求=__________。
9. 設為平面上兩定點,動點 P 在線段上。O為原點,且Q在射線上,並滿足=4 。當動點P由A延著線段移動到 B 時,試求Q點軌跡圖形的路徑長為何?__________
10. 冰果飲料店推出集字活動,凡購買任何一杯飲品,皆能獲得一張集字卡,只要收集「中」、「獎」、「囉」三字,即可免費兌換一杯綠茶。已知集字卡上出現「中」的機率為 、出現「獎」的機率為 、出現「囉」的機率為 。請問成功收集到「中」、「獎」、「囉」三字,所需要購買飲品杯數的期望值為______杯。
問題 2:證明圖G為路徑(Path)。(除了頭尾的點只有一個邊連到其他某個點,其他的點皆為兩個邊連至某兩個點,下圖為一路徑的範例。)(4 分)