114年 - 114-1 臺中市立文華高級中等學校_教師甄選試題 : 數學科#126421

1. 已知a為正無理數，a³-4a²-6a +4 與 a²-3a+1皆為有理數，則a=_____

2. 有一圓內接四邊形ABCD，,若,則數對(x,y)=_____

3. 已知四次整係數多項式f(x)滿足首項係數為1且f(2-√3)=f(1+√5)=7,則 f(x)除以x²-6的餘式為_____

4. 求 =_____

5. 有一長方形 ABCD,,如圖(一),將長方形沿對角線折起,使得∆ABD 與ABCD夾60°,則cos(∠ADC) =_____

6. 已知有一袋子裝有「兩顆紅球、三顆黑球、四顆白球」,今從袋中取球並記錄顏色。假設每顆球被取到的機會相同,且每次只取一球,取後不放回,直到紅球全數取出為止,則在紅球沒有被連續取出的條件下,紅球是三種顏色中最後被取完的機率為_____

7. 雙曲線 有一弦以 (-5,4) 為中點,則此弦的方程式為_____

8. 已知複數 z 滿足 |z| = 1, 則 |z-6|² + |z+2i|² 之最小值為_____

9. 設實係數多項式函數 f(x) = x⁴ + ax² + bx 與 g(x) = cx + (a-3) 的圖形相切於兩相異點,則實數 a =_____

10. 已知方程式 = 81 * log₃(x²+4x+7) 恰有兩實根 α、β, 則 α+β 之值為_____

11. 有一「八面體」,其展開圖如圖(二),由四個正三角形及四個正六邊形組成。已知各邊邊長為 2 單位長,則此八面體的體積為_____

12. 設 f(x) = + 3, g(x) = x³ - 3x² + 4x - 2, f(x) = 0 的二十個複數根為 α₁, α₂,…, , 則 g(α₁) * g(α₂) * … * =_____

13. 若 a ＜ b, 已知對任意實數 x, ax² + bx + c ≥ 0 恆成立,且 m ＜ 恆成立,則實數 m 之範圍為_____

14. 已知數列 ＜an＞ 滿足前 n 項和 = n² + 4n + 3。以符號 表示前 n 項的算數平均數、 表示前 n 項的標準差，試求：之值_____。

15. 設等差數列的前 n 項和為，等差數列的前 n 項和為。
對任意正整數 n， 恆成立，則 =_____  (Σ 符號表示從 k=1 到 n 的總和)

16. 在邊長為 r 的正方形 ABCD 之內部任取一點 P，則≥ 0 的機率為_____

1. 試證：橢圓 = 1 的面積為 πab，其中 a ＞ 0, b ＞ 0。

2. 已知實數 x 滿足 [x²] - [x]² =  - x，其中 [x] 表示不大於 x 的最大整數，試求：x 的所有解。

3. 單位圓上有三點 A、B、C， = 8，證明：△ABC 為直角三角形。