114年 - 114-1 臺北市立內湖高級中學_正式教師甄選：數學科#126716

1. 已知 x¹⁰ 除以(x +1)³的餘式為 R(x) ，求R(x) 除以 x −1 的餘式為__________ 。

2. 已知方程式logx^logx₊logx³⁻5=0 的兩根為 α,β ，求 αβ之值為_________ 。

3. 已知 a 為正實數，若函數 f(x)=|x-a|+| x +1|的圖形與y = 所圍的圖形面積為 2，求 a 之值為________ 。

4. 設，若函數 f(x)=|3sin x+ 4cosx|在x=k時有最大值，求 sink-cosk為_________ 。

5. 若三角形 ABC 的三個高分別為 ，求三角形 ABC 的周長為_________ 。

6. 已知 a,b為實數，若函數 f(x)=2ax³-3ax²+b在 0≤x≤2時有最大值 7，最小值−3，求數對 (a,b )  為_______。

7. 在空間中，正四面體 ABCD 的稜長為 1，若的中點分別為 E, F，且 G 為 △AEF 重心，求長度為_______ 。

8. 已知一個底面半徑為 3，高也為 3 的直圓柱，平面 E 通過底面的直徑 ，且平面 E 與底面的夾角為 45° ，此時平面 E 將直圓柱切割成兩部分，求較小那部分的 體積為_______。

9. 已知坐標平面上有一正方形 ABCD，若點 E F G H (6,0), (6,6), (0,8), ( 5,4) − 分別在上，求正方形 ABCD 的面積為_________ 。

10.已知從 n 階方陣中隨機取一元素，設隨機變數 X 表示取中的元素數值。若隨機變數 X 的變異數為 1.84，求 n 為_______。

11.某實驗測得 20 組樣本點(x₁ ,y₁),(x₂ ,y₂),...,(x₂₀ ,y₂₀)，已知， 利用最小平方法求得 y對x的迴歸直線方程式為 y=ax+b 。若 且(x₁ ,y₁)= (30,40)，設 x'=2x-4,y'=-3y+5,i=1,2,...,20，求數據 (x_i ',y_i')  的迴歸直線方程式為________ 。

12.已知橢圓的中心為 O，且焦弦與長軸夾角為 60° ，求△OPQ 面積為_______。

13.已知梯形 ABCD 中，=5 。若 P 為 上任一點，作於 N，求△APM 與 △BPN 的面 積和最小值為__________ 。

14.已知空間中兩直線，其中 k 值是從 集合 {1,2,3,4} 中隨機任取一數，試問在直線 L₁ 與 L₂不重合的條件下，直線 L₁ 與 L₂ 為相交直線的機率為________。

15.已知擲一公正骰子 4 次的點數分別為 a, b, c, d，求滿足| (a-b)(b-c)|+(c-d)²=1的機率為__________ 。

16.已知空間中，點 O (a ,6,3) 與直線 L:皆在平面 E:2x+y-2z=8上，且點 O 與直線 L 的距離為 6，求序對 (a,b,c)為____________ 。

17.已知空間坐標系有三個非零向量 ， 若所決定的四面體體積為______________ 。

18.求之值為____________ 。

19.已知高斯符號 [x] 表示不大於實數 x 的最大整數，若 ，求實數 p 為_________ 。

20.已知 k 為整數且方程式x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0有兩個相異整數根，求 k 值為_______。