114年 - 114-1 國立嘉義女子高級中學_教師甄選初試試題：數學科#127317

1. 求43¹⁰⁰-43² 除以 43³-43²+43的餘數為__________ 。

2. △ABC 中，∠BAC=30° ， =10， =6 ，若 D 、E 分別為上的動點。當有最小值時，求此時的長度比=__________ 。

3. 平面上有三個向量，滿足且，已知的正射影長度為 ，求的正射影長度為___________ 。

4. 若 ，n∈N ，則當 n 的取值最少為__________時，  c_n 開始會大於 d_n 。 ( log 2≈ 0.301，log3≈0.4771，log7≈ 0.8451，log11≈1.0414 )

5. △ABC 中，已知=0且cosC= ，求 tan A： tan B： tanC =___________ 。

6. xy 平面上的動點 P(a , b)，b> a >1 ，若 c 為不等於 1 的正實數，滿足2(log_ac+log_bc ) =9log _abc，求的最小值為___________ 。

7. 設實係數多項式 y = f (x) 滿足f(x)=，且 f (s)= 8 ， f (k)= 2，求 s+ k =__________ 。

8. 下圖為正三角形所構成之圖形，試求以這些線段共可以決定__________個平行四邊形。

9. 投擲一個特殊骰子(共六個面，每面出現機率均等)，其中六個面點數分別為 1、1、2、2、3、3，試求連續投擲 9 次，其點數的算術平均數之小數點後第一位數字為 1 的機率為____________ 。

10. 在複數平面上，若已知|z|=1 ，試求|z²+ z-6|的最大值為___________ 。

11. 若實數 a、b 滿足，試求 a+b的值為____________ 。

12. 已知數〈a_n〉 其前 n 項和 Sn=2a_n-3✖2ⁿ+4 (n 為正整數)，試求a_n 的一般項為___________ 。

13. 試求的所有實數解為_____________ 。

二、非選擇題與證明題(計 3 題，共 22 分)：
1. 已知 △ABC 中， ∠A、∠B、∠C 的對邊為 a 、b、c ( a ≠ b )，且 ∠A= α ，∠B= α-2β ；有另一個 △A'B'C' ，∠A' 、 ∠B'、∠C'的對邊為 a ' 、b'、c' ，且∠A'=α-β ，∠B'=β ，其中0°< 2β<a<180° 試證明：
(證明題，8 分。請勿將α，β 以帶入特別角的方式進行驗證)

2. 已知 x>1，y>1，z>1 且，試證 (證明題，8 分。)

3. 坐標空間中，考慮三個平面E₁:x+y+z=7 、 E₂= x-y+z=3 、E₃:x-y-z=-5 ，若坐標空間中第四個平面 E₄ 與 E₁、 E₂ 、E₃圍出一個邊長為的正四面體，試求出 E₄ 的方程式(寫成 x+ay+bz=c 的形式)
上述為 113 學年度分科測驗數學甲試題，請使用三種方法解答此題，書寫時請詳列計算過程。 (非選擇題，6 分。使用三種以上方法得 6 分，使用二種方法得 3 分，只使用一種方法或未作答不予計分)