92年 - 92 二技統測_管理類(一)_專業科目(一)：微積分#144718

科目：二技統測◆管理類（一）◆(一)微積分 | 年份：92年 | 選擇題數：25 | 申論題數：0

試卷資訊

所屬科目：二技統測◆管理類（一）◆(一)微積分

選擇題 (25)

1. 若 $f(x) = \frac{x^2}{2}$，$a$ 為一實數，則 $f(a^2 + 1) = ?$

(A) $\frac{a^2}{2} + 1$ (B) $\frac{a^4 + 1}{2}$ (C) $\frac{(a^2 + 1)^2}{2}$ (D) $\left(\frac{a^2 + 1}{2}\right)^2$
2. 求 $\lim_{x \to -2} \frac{x+2}{x^2+4} = ?$

(A) $-\frac{1}{4}$ (B) 0 (C) $\frac{1}{8}$ (D) $\frac{1}{2}$
3. 若 $f(x) = \begin{cases} x+1 & , \\ -x^2+1 & , \\ \sin(\pi x) & , \end{cases}$，$0 \leq x \leq 1$，則 $f(x)$ 之不連續點有幾個？

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 無限大
4. 下列敘述何者正確？

(A) 若 $f(x)$ 在 $x=c$ 連續，則 $f'(c)$ 存在

(B) 若 $f'(c) = 0$，則 $f(c)$ 為相對極值 (relative extrema)

(C) 若 $f''(c) = 0$，則點 $(c, f(c))$ 為曲線 $y = f(x)$ 之反曲點 (inflection point)

(D) 若 $a < x < b$ 時 $f''(x) > 0$，則曲線 $y = f(x)$ 在區間 $(a, b)$ 內凹向上 (concave up)
5. 若 $f(x) = 4x\sqrt{3x+1}$，則 $f'(1) = ?$(A) 6 (B) 9 (C) 11 (D) 12
6. 曲線 $y^2 - xy - 3x = 1$ 在點 $(0, -1)$ 之切線斜率為何？

(A) $-2$ (B) $-1$ (C) 1 (D) 2
7. 曲線 $y = 6 - x^3 + 3x^2$ 之切線斜率最大值為何？

(A) 3 (B) 6 (C) 8 (D) 10
8. 設 $f(x) = \int_0^{2x} \sqrt{1+t^3} \, dt$，則 $f'(0) = ?$

(A) 0 (B) 1 (C) $\sqrt{2}$ (D) 2
9. 求 $\int (2 - 3x)^5 \, dx = ?$

(A) $-\frac{1}{2}(2 - 3x)^6 + C$ (B) $-\frac{1}{6}(2 - 3x)^6 + C$ (C) $-\frac{1}{18}(2 - 3x)^6 + C$ (D) $\frac{1}{18}(2 - 3x)^6 + C$
10. 求 $\int e^{2\ln x} \, dx = ?$

(A) $e^{\frac{x^3}{3}} + C$ (B) $e^{1+2\ln x} + C$ (C) $\frac{2}{x}e^{2\ln x} + C$ (D) $\frac{x^3}{3} + C$
11. 利用幾何觀念，求 $\int_0^3 \sqrt{9-x^2} \, dx = ?$

(A) $\frac{9}{4}\pi$ (B) $3\pi$ (C) $\frac{9}{2}\pi$ (D) $9\pi$
12. 方程式 $\ln(1+x) = 1 + \ln(1-x)$ 的解 $x = ?$

(A) 0 (B) $e$ (C) $\frac{e-1}{e+1}$ (D) $\frac{e+1}{e-1}$
13. 若 $f(x) = e^{-x^2}$，則 $f''(0) = ?$

(A) $-2$ (B) $-\frac{2}{e}$ (C) 0 (D) $\frac{1}{e^2}$
14. 若 $f(x) = \sin x$，則 $f(x)$ 的第 2003 階導函數 $f^{(2003)}(x) = ?$

(A) $-\sin x$ (B) $-\cos x$ (C) $\sin x$ (D) $\cos x$
15. 求 $\int \sin^3 x \, dx = ?$

(A) $\frac{\sin^4 x}{4} + C$ (B) $\frac{\sin^4 x}{4\cos x} + C$ (C) $\frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$ (D) $\frac{\sin^4 x \cdot \cos x}{4} + C$
16. 求 $\int_0^3 |x-2| \, dx = ?$

(A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{3}{2}$ (C) 2 (D) $\frac{5}{2}$
17. 若使用代換積分法求 $\int_2^5 \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx$，令 $u = \sqrt{x-1}$，則原定積分式可代換為何？

(A) $\int_1^2 \frac{u}{u^2+1} \, du$ (B) $\int_1^2 \frac{2u^2}{u^2+1} \, du$ (C) $\int_2^5 \frac{u}{u^2+1} \, du$ (D) $\int_2^5 \frac{2u^2}{u^2+1} \, du$
18. 求 $\int_{-1}^1 xe^{-x} \, dx = ?$

(A) $-\frac{2}{e}$ (B) 0 (C) $\frac{1}{e}$ (D) $e + \frac{1}{e}$
19. 下列取積分何者為收斂？

(A) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \, dx$ (B) $\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \, dx$ (C) $\int_0^2 \frac{1}{(x-1)^2} \, dx$ (D) $\int_1^3 \frac{1}{2-x} \, dx$
20. 下列各式何者正確？

(A) $\frac{d}{dx} 2^x = x \cdot 2^{x-1}$ (B) $\frac{d}{dx} \ln 2 = \frac{1}{2}$ (C) $\int_{-1}^2 \frac{1}{x} \, dx = \ln 2$ (D) $\int_0^1 2^x \, dx = \frac{1}{\ln 2}$
21. 已知 $\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$，$-1 \le x < 1$，設 $\ln(1+x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，$-1 \le x \le 1$，則 $a_6 = ?$

(A) $-\frac{1}{3}$ (B) $-\frac{1}{6}$ (C) $\frac{1}{6}$ (D) $\frac{1}{3}$
22. 已知連續函數 $f(x)$ 的圖形通過 $A(0, \frac{1}{5})$，$B(\frac{1}{3}, \frac{4}{5})$，$C(\frac{2}{3}, \frac{2}{5})$，$D(1, \frac{3}{5})$ 四點 (如圖一)。

以梯形法 $n=3$ (3 等分) 求定積分，則 $\int_0^1 f(x) \, dx$ 的近似值為何？

(A) $\frac{2}{5}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{8}{15}$ (D) $\frac{11}{15}$

圖一
23. 拋物線 $y=3x-x^2$ 及直線 $y=0$ 所圍區域 (如圖二)，繞 $y$ 軸旋轉一圈所形成旋轉體 (如圖三) 的體積為何？

(A) $\frac{9}{2}\pi$ (B) $\frac{81}{10}\pi$ (C) $\frac{27}{2}\pi$ (D) $\frac{81}{4}\pi$
24. 拋物線 $y^2=2x$ 與直線 $x-y=4$ 所圍成區域的面積為何？

(A) 9 (B) 18 (C) $\frac{62}{3}$ (D) $\frac{100}{3}$
25. 下列無窮級數何者為收斂？

(A) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ (B) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$ (C) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{2n+1}$ (D) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$

申論題 (0)