阿摩線上測驗
39. 某學童知道所有的長方形都有四個直角，但不知道正方形是長方形的一種。根據van Hiele幾何認知層次理論，該學童屬於何種認知層次？
(A)分析期（descriptive-analytic level）
(B)視覺期（visual level）
(C)形式演繹期（formal deduction level）
(D)非形式演繹期（informal deduction level）
統計： A(764), B(827), C(340), D(336), E(0) #2388764
詳解 (共 10 筆)
( 一 ) 視覺期 (Visualization) ─第零層次
此層次的學童是透過視覺觀察實物，由實物的輪廓來辨識形體或圖形，而經常接觸討論某類的圖形，其形狀差異不大，例如：三角形、正方形、長方形與圓等，學童可以透過移動、旋轉與翻轉等方式，直觀地辨識某類圖形。
此時學童可以使用非標準的數學語言，例如：學童稱呼某一個長方形，是瘦瘦的、長長的或是像門的樣子；稱呼某一個正方形，是方方正正的樣子。也可以使用標準的數學語言來描述圖形的形狀，例如：使用「正方形」、「長方形」、「圓形」與「三角形」等標準的數學語言指稱圖形的形狀，但是並不理解這些數學語言的定義，例如：用正方形的構成要素來定義一個正方形，是有四個邊與四個角及其關係是四個邊等長與四個角都是直角。
針對本層次的學童，本教材安排許多透過感官的操作活動，讓學童進行分類、造形、滾動、堆疊、描繪、著色、觸摸與複製等活動，幫助學童注意到圖形的構成要素。
( 二 ) 分析期 (Analysis) ─第一層次
此層次的學童應該具有豐富的視覺辨識經驗，能進一步觀察圖形構成要素與圖形之間的關係，可以開始尋找出某一類圖形的共同性質，例如：以圖形組成要素來說，當注意到長方形的邊長時，學童可以發現長方形都有四個邊，這四個邊剛好分成兩組，一組是兩個長邊，一組是兩個短邊，而且兩個長邊等長，兩個短邊也等長。當注意到長方形的角時，學童可以發現長方形都有四個角，這四個角都相等，而且每一個角都是直角。而若以圖形之間的關係來說，例如：「長方形」與「此長方形對角線相交的圖形」，此為兩個圖形，當注意到長方形的對角線時，學童也可以發現長方形都有兩條對角線，而這兩條對角線等長且互相平分。
雖然此時學童可以發現長方形的四個角都是直角、對角線等長、對角線互相平分、兩雙對邊分別相等或兩雙對邊互相平行，但是學童無法解釋這些幾何性質間的關係，例如：無法透過推理，理解為什麼四個角都是直角的四邊形，它們的對角線一定會等長且互相平分。
針對本層次的學童，本教材安排許多圖形的製作活動、組合分割活動以及檢驗活動，幫助學童觀察製作後的圖形構成要素與原圖形構成要素間的關係，觀察原圖形與組合、分割後圖形構成要素間的關係，以及熟悉各種圖形的性質，幫助學童探索圖形與圖形之間的關係。
( 三 ) 關係期 (Relation) 或非形式演繹期 (Informal Deduction) ─第二層次
此層次的學童已經能掌握各種圖形的構成要素，
可以進一步探索圖形內在屬性關係，以及不同類圖形之間的包含關係，
例如：
兩雙對邊相等的四邊形一定是平行四邊形；
對角線等長且互相平分的四邊形一定是長方形。此時期的學童不必將所有的屬性都描述出來之後，才能確認某一類圖形。
此層次的學童也能夠理解長方形一定是平形四邊形的意義，也能夠推論當平行四邊形有一個角是直角時，該平行四邊形一定是長方形。學童也能夠掌握三角形的外角等於對應的二個內角和， n 多邊形的內角和為 (n － 2) × 180 °的意義，這些都是此層次學童能透過理解其內在關係後建立的概念，而不只是公式的記憶。
( 四 ) 形式演繹期 (Formal Deduction) ─第三層次
這裡演繹的意義是指在一個公設系統中去建立幾何理論，故而此層次的人們能用演繹邏輯證明定理，並建立相關定理的網脈結構關係。他們可以在一個公設系統中建立理論，他們不只是記憶圖形之間的各種性質，並且能夠證明與理解一個定理可以有很多不同證明的方法；他們也能理解一個定理的充份或必要條件的內在關係，並發現正逆命題間的差異性，國小學童少能達到此層次。
( 五 ) 嚴密性 (Rigor) 或公理性 (Axiomatic) ─第四層次
達到這個層次的人們，可以在不同的公設系統中建立定理，並分析或比較這些定理的特性，例如：能區分 歐 氏幾何與非 歐 幾何系統間的差異，也可以理解抽像的幾何推理，甚至可以自創一套幾何公設系統。一般的人很難達到這個層次，即使是以數學為專業者也不易達成。
根據 Van Hiele 夫婦研究顯示，上述五個層次都有其次序性，學習者必須擁有前一個層次的概念與策略，才能有效地進行下一個層次的學習活動。同時，由於教材內容屬性的差異，也會影響學習者落入不同的層次之中，例如：學童對平面上兩直線平行或垂直的概念已經進入第一層次的分析期，但是對空間中兩平面、兩直線或平面與直線平行或垂直的概念，可能還停留在第零層次的視覺期。
參考來源： http://wd.naer.edu.tw/216/book13/1-2_1.htm
http://km.tyes.ntpc.edu.tw/f2blog/index.php?load=read&id=1927
Van Hiele 模式包含五個層次的思考特徵，分別是
1.視覺 ( Visualization )學童稱呼某一個長方形，是瘦瘦的、長長的或是像門的樣子；稱呼某一個正方形，是方方正正的樣子。使用「正方形」、「長方形」等標準的數學語言指稱圖形的形狀，但是並不理解這些數學語言的定義 |
2.分析 ( Analysis/ Recognition )學童可以發現長方形都有兩條對角線，而這兩條對角線等長且互相平分。 比較兩圖形的異同。能描述圖形定義，但無法解釋這些幾何性質間的關係 |
3.非形式演繹 ( Informal Deduction )可以進一步探索圖形內在屬性關係，以及不同類圖形之間的包含關係， 能使用定義並提出非形式化的推論。能將發現的性質作演繹推論，但無法建立定理間的關聯，亦無法有系統的證明定理的意義。 |
4.形式演繹 (Formal Deduction )能理解一個定理的充份或必要條件的內在關係，並發現正逆命題間的差異性，國小學童少能達到此層次。 |
5.嚴密性 ( Rigor )能有系統且嚴謹地建立定理，並分析與比較不同的公設系統。然此層次難以達到，連Van Hiele本人皆認為該層次只具理論上的價值。 |
B依據Van Hiele幾何認知思考層次和九年一貫數學學習領域課程綱要的教學内容，在國小五、六年級時的學童大部份 是在那一個層次？
(A) 視覺期(visualization) (B) 分析期(analysis) (C) 非形式演繹期(informal deduction) (D) 形式演繹期(deduction)
C依Van Hiele的幾何認知發展理論來看，學生的幾何認知能力需發展至哪一個階段才能了解「正方形也是一種長方形」？ (A)視覺期(Visualization) (B)分析期(Analysis) (C)非形式演繹期(Informal Deduction) (D)形式演繹期(Formal Deduction)
B老師把各種大小的三角形、四邊形和圓形放在桌上，要小朋友分類，有一位學童將各種不同大小三角形放一堆，四 邊形放一堆，圓形方一堆，老師接著問這位小朋友：「你能不能說說看，為何把這一些(三角形)放在一起呢？」這位小 朋友回答：「哦！這些圖形都有三個邊、三個頂點、三個角，所以我將它們放在一起。」請問依據 Van Hiele(1959)幾 何發展的層次，是屬於下列哪一個層次？ (A)視覺期 (B)分析期 (C)非形式演繹期 (D)形式演繹期
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歲 |
van Hiele geometry and space |
82年部編本（甯自強，1992）將國小學童對數的五個階段 |
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(0)數數：說聽讀寫做 |
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Visualization 第0層次視覺期 使用「正方形」、「長方形」、「圓形」與「三角形」等標準的數學語言指稱圖形的形狀，但是並不理解這些數學語言的定義。 |
(一) sequential integration operations序列性合成運思學童能將數個「1」合而為一，形成一個集聚單位（composite units，例如：10或16）。此階段的學童已具有數的保留概念，他們把「1」當做一個可複製並加以計數的聚集單位。例如，5 就是5個「1」。此階段的學童在加法的解題策略，多以手指或具體物模擬問題情境中的量，再全部數數。即以「1」為計數單位來進行解題。 (二) progressive integration operation累進性合成運思學童可以使用一個集聚單位（例如：10或16）為基礎，繼續合成新的「1」，而形成新的集聚單位，例如以16（集聚單位）為起點，繼續合成3個「1」，而形成19（新的集聚單位）。 |
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Analysis 第一層次分析期 無法解釋這些幾何性質間的關係，例如：無法透過推理，理解為什麼四個角都是直角的四邊形，它們的對角線一定會等長且互相平分。應安排許多圖形的製作活動、組合分割活動以及檢驗活動，幫助學童觀察製作後的圖形構成要素與原圖形構成要素間的關係，觀察原圖形與組合、分割後圖形構成要素間的關係，以及熟悉各種圖形的性質，幫助學童探索圖形與圖形之間的關係。 |
(三) part-whole operation部分-全體運思學童能掌握「1」單位與以「1」為單位量所合成的集聚單位（例如：10或100）間的部分─全體關係，並且明顯地區分兩者的意義，所以在混合使用兩種以上的被計數單位（集聚單位）時，不會混淆其計數的意義，可以將數個集聚單位和數個「1」單位合而為一，形成新的集聚單位。例如，能區辨3個「十」與3個「一」這兩個3具有不同的意義，而將33（新的集聚單位）視為3個「十（集聚單位）」與3個「一」的合成結果。 |
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(四) measurement operation測量運思學童能掌握「1」與新的集聚單位（例如：10或100）間的部分─全體關係為基礎，進而能掌握新的集聚單位（例如：「十」）與以此集聚單位為單位量所合成的另一個新集聚單位（例如：10個「拾」，也就是「百」）間的部分─全體關係，也就是可以同時掌握兩個層級的部分─全體關係。 |
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Informal Deduction或Relation 第二層次非形式演繹期或稱關係期 這些都是此層次學童能透過理解其內在關係後建立的概念： n 多邊形的內角和為 (n － 2) × 180 °的意義 |
(五) ratio operations比例運思學童能以兩個集聚單位間的關係為運思的起點，形成新的單位來描述此關係，也就是能掌握比值或有理數的概念，並且以其關係為運思的對象，蘊涵著對共變性質的掌握，被此關係聯絡的兩個集聚單位，如果產生等比例的變化，並不會改變此關係。 |
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Formal Deduction 第三層次形式演繹期 這裡演繹的意義是指在一個公設系統中去建立幾何理論，故而此層次的人們能用演繹邏輯證明定理，並建立相關定理的網脈結構關係。 |
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一般人也難達到 Rigor或Axiomatic |
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