49.老師把各種大小的三角形、四邊形和圓形放在桌上，要小朋友分類，有一位學童將各種不同大小三角形放一堆，四 邊形放一堆，圓形方一堆，老師接著問這位小朋友：「你能不能說說看，為何把這一些(三角形)放在一起呢？」這位小 朋友回答：「哦！這些圖形都有三個邊、三個頂點、三個角，所以我將它們放在一起。」請問依據 Van Hiele(1959)幾 何發展的層次，是屬於下列哪一個層次？
(A)視覺期
(B)分析期
(C)非形式演繹期
(D)形式演繹期。

Van Hiele夫婦的幾何學習發展理論

第0層次──視覺期（Visualization）

→此階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，在視覺下差異不大的圖形，他們可以透過移動旋轉等方式辨識，可以使用非標準語言或標準數學術語描述物件的形狀，如像門的形狀為長方形，像盤子的形狀為圓形。

第1層次──分析期（Analysis）

→此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且可以利用實際操作（如摺疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。

第2層次──關係期（Relation）或非形式演繹期（Informal Deduction）

→此階段兒童可以透過非正式地論證，把先前發現的性質作邏輯地聯結。能進一步探索圖形內在屬性關係及個圖形間的包含關係，如四邊形兩雙對邊相等即是平四邊形，而不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。

第3層次──形式演繹期（Formal Deduction）

→達此階段者，能用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。

第4層次──嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）

→達此階段者，可以在不同的公理系統中建立定理，並且分析或比較這些系統的特性。

根據van Hiele的理論，以學生的幾何思考為例，可以分為五個層次(van Hiele, 1986)。本研究中，將採用van Hiele(1986)的用法及其名詞，分別稱之為層次一：視覺的層次、層次二：描述的層次、層次三：理論的層次、層次四：形式邏輯的層次、以及層次五：邏輯法則本質的層次。玆將這五個層次分述如下：

層次一：視覺的層次

屬於這個層次的兒童藉著視覺觀察各種具體事物，從各種實體物的外形輪廓來辨認圖形。譬如：由從前生活經驗中知道長方形是瘦瘦長長的，圓圓的東西屬於圓形，像門的形狀為長方形，像太陽的形狀為圓形，又如◇看起來，不像正方形，兒童認為這不是正方形，此層次兒童的思考推理，受視覺外觀的影響很大。只要在圖形外表特徵差異稍大時，就不會將長方形看成正方形；或將橢圓形看成圓形。此層次的兒童可以透過實體物操作，例如旋轉或移動，就可以辨別圖形之異同，他們可以使用非數學的術語，知道各種圖形，但是卻無法了解這些圖形的真實意義。教師應多提供各種機會，讓兒童透過實際的操作，使其視覺感官進行圖形的分類、描繪、著色、堆積、造形等活動，來獲得幾何圖形的正確概念。學生能根據圖形的外表，來識別、操弄圖形（Shape）（例：正方形，三角形），和其它幾何構形要素（Configurations）（例：線，角，網狀格子）。

層次二：描述的層次

這個層次的兒童已經具有辨別圖形特徵的能力，他們能利用視覺來觀察組成圖形的構成要素（頂點、邊、角）與這些要素之間的關係，分析幾何概念。因此，能夠察覺到圓形沒有邊，正方形有四個邊，而且每邊都相等；三角形有三個邊，可是卻無法說明這些圖形特徵之間有何關係存在。例如：菱形、正方形、平行四邊形、長方形之間有何關係，兒童不一定能夠知道正方形與長方形雖然都有四個邊，當這兩個圖形邊長不相等時，面積可能相等，此層次的兒童尚無法經由推理而知悉其道理何在。學生藉由組成元素的名稱，和組成元素之間的關係來分析圖形。同時，依其經驗建立同一類圖形所具之特性，並且運用圖形之特性來解題。

層次三：理論的層次

這個層次的兒童，不但能夠了解、掌握、運用構成圖形的各種要素，並且能夠進一步探求各種幾何圖形的內在屬性（即構成要素間關係的非形式推理）以及各圖形之間的包含關係。例如，平行四邊形的兩雙對邊相等；長方形是平行四邊形的一種，當平形四邊形其中一角為90°時，這個四邊形就是長方形。又如，任何三角形的外角，都等於其相對兩內角的和，多邊形的內角和為180°（n-2）。這層次的兒裡開始建構不同類型圖形之間的關係，譬如：正方形、菱形、長方形、平形四邊形。學生使用公式表示和使用定義，整理先前發現的性質，給一非正式的討論，並跟著給一演繹上的討論。

層次四：形式邏輯的層次

這個層次的學生能夠經由抽象推理的過程，來證明各種幾何問題，同時能夠知道證明的方法不只一種。換言之，兒童不必靠記憶公式來證明幾何問題。此外，他們能夠理解幾何問題之解決，必須具備的充分或必要條件。例如：不必透過拿實體物來操作，就能夠證明畢氏定理。譬如：這個層次兒童可以知道菱形也是長方形，又是正方形。學生能用邏輯推理的方法，來證明幾何的性質。

層次五：邏輯法則本質的層次

這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的學習者能夠在不同的公設體系中，建立定理並且分析或比較包括非歐幾何（non-Euclidean Geometry）或比較不同公設系統；同時也能夠了解抽象的幾何概念。在此層次的學生，能學習不同的幾何公設系統，了解抽象推理幾何，並能互相比較不同公設系統。