申論題

二、某經濟學者長期研究國內農民的家戶所得，發現國內的農家所得是服 從平均數為µ ，變異數為  σ² 之常態分配。針對評估農家所得分配是否 不平均的狀況，此經濟學者提出了以所得分配的第 90 百分位數和第 10 百分位數的差（以 θ 表示），做為評估農家所得分配是否不平均的 評估指標。今由全臺灣農家隨機抽取 n 筆家戶所得的資料，得到隨機樣 本 X₁  ,X₂  , ...,   Xn。令 F(x)為農家所得分配之累積分配函數（cumulative distribution function）。（每小題 10 分，共 30 分）

(一)假設 µ 和  σ² 皆未知，求出上述評估指標θ 之最小變異不偏估計量 （uniformly minimum variance unbiased estimator），θˆ。