申論題

題目資訊 (續)：

• 電路結構：並聯 RLC 電路 (如圖三所示)
• 電源電壓 V~=200∠0∘V
• 電阻 R = 50 kΩ
• 電感 L = 4 mH = 4×10−3H
• 電容 C = 100 nF = 1×10−7F
• 諧振角頻率 (先前計算) ω0​=5×104rad/s
• 品質因數 (先前計算) Q = 250
• 所求：(三) 諧振時電感電流 (I~L​) 及電容電流 (I~C​)

計算方法：

在諧振頻率 ω0​ 時，並聯電路中的每個元件兩端的電壓都等於電源電壓 V~。因此，我們可以分別計算流過電感和電容的電流。

1. 計算電感的阻抗 (ZL​)： 電感的阻抗為 ZL​=jω0​L。 ZL​=j×(5×104rad/s)×(4×10−3H) ZL​=j×(5×4)×104−3Ω ZL​=j×20×101Ω ZL​=j200Ω=200∠90∘Ω

2. 計算電容的阻抗 (ZC​)： 電容的阻抗為 ZC​=jω0​C1​=−jω0​C1​。 ω0​C1​=(5×104rad/s)×(1×10−7F)1​ ω0​C1​=5×104−71​Ω=5×10−31​Ω=51000​Ω=200Ω 所以，ZC​=−j200Ω=200∠−90∘Ω （注意：在諧振時，∣ω0​L∣=∣1/(ω0​C)∣）

3. 計算諧振時電感電流 (I~L​)： I~L​=ZL​V~​=200∠90∘Ω200∠0∘V​ I~L​=200200​∠(0∘−90∘)A I~L​=1∠−90∘A

4. 計算諧振時電容電流 (I~C​)： I~C​=ZC​V~​=200∠−90∘Ω200∠0∘V​ I~C​=200200​∠(0∘−(−90∘))A I~C​=1∠90∘A

結果驗證 (使用 Q)： 在並聯諧振電路中，流過電感和電容的電流大小是諧振電流（即流過電阻 R 的電流）的 Q 倍。 諧振電流（流過電阻 R 的電流）∣I~R​∣=∣I~res​∣=4mA。 ∣I~L​∣=∣I~C​∣=Q×∣I~R​∣=250×(4mA)=250×(4×10−3A)=1000×10−3A=1A。 這與我們上面計算的電流大小 1A 相符。

答案：

• 諧振時電感之電流為 1∠−90∘A (或 1A，相位落後電壓 90∘)。
• 諧振時電容之電流為 1∠90∘A (或 1A，相位領先電壓 90∘)。