五、圖四之電路中，試求出節點電壓 V₁ 及 V₂。

分析電路 (圖四)：

• 這是一個直流電路，包含一個 6V 的電壓源、一個 2A 的電流源以及四個電阻。
• 參考點（接地）已經標示在電路底部。
• 我們需要求解節點 V1​ 和 V2​ 相對於地的電壓。

使用節點電壓法 (Nodal Analysis)：

1. 設定節點方程式： 我們需要對 V1​ 和 V2​ 這兩個非參考節點列出克希荷夫電流定律 (KCL) 方程式。KCL 指出，流出（或流入）一個節點的總電流為零。我們假設電流從節點流出為正。

2. KCL at Node V1​：

   • 電流向左流經 3Ω 電阻： 3ΩV1​−6V​
   • 電流向下流經 6Ω 電阻： 6ΩV1​−0V​=6ΩV1​​
   • 電流向右流經 2Ω 電阻： 2ΩV1​−V2​​
   • 根據 KCL，流出電流總和為 0： 3V1​−6​+6V1​​+2V1​−V2​​=0

3. KCL at Node V2​：

   • 電流向左流經 2Ω 電阻： 2ΩV2​−V1​​
   • 電流向下流經 8Ω 電阻： 8ΩV2​−0V​=8ΩV2​​
   • 從最右側支路流入 V2​ 的電流：根據圖示，2A 的電流源從地向上提供電流，流經 8Ω 電阻後流入節點 V2​。因此，從 V2​ 流出到該支路的電流為 -2A。
   • 根據 KCL，流出電流總和為 0： 2V2​−V1​​+8V2​​+(−2A)=0

4. 整理聯立方程式：

   • 方程式 (1) (來自 V1​)： 將方程式兩邊同乘以 6 (3, 6, 2 的最小公倍數) 2(V1​−6)+1(V1​)+3(V1​−V2​)=0 2V1​−12+V1​+3V1​−3V2​=0 6V1​−3V2​=12 (同除以 3 簡化) ⟹2V1​−V2​=4 --- (1')

   • 方程式 (2) (來自 V2​)： 將方程式兩邊同乘以 8 (2, 8 的最小公倍數) 4(V2​−V1​)+1(V2​)−8(2)=0 4V2​−4V1​+V2​−16=0 −4V1​+5V2​=16 --- (2')

5. 解聯立方程式： 我們現在有兩個方程式： (1') 2V1​−V2​=4 (2') −4V1​+5V2​=16

   • 從 (1') 解出 V2​： V2​=2V1​−4

   • 將上式代入 (2')： −4V1​+5(2V1​−4)=16 −4V1​+10V1​−20=16 6V1​=16+20 6V1​=36 V1​=636​=6V

   • 將 V1​=6V 代回 V2​=2V1​−4： V2​=2(6)−4 V2​=12−4=8V

答案：

節點電壓為 V1​=6V 及 V2​=8V。