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統計學
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109年 - 109 高等考試_三級_經建行政、工業行政、農業行政、交通技術：統計學#88981
> 申論題
二. 若一新生產機台其故障時間服從一平均值為 λ （天）的指數分配（exponential distribution）。假定 p
1
為此機台連續運轉不故障超過3天的機率， p
2
為給定此機台已連續運轉2天不故障情形下再連續運轉超過1天不故障的條件機率，且log( p
2
) -log( p
1
) =4 ，其中log(a)為數字a的自然對數值。試算出此生產機台在12小時內故障的機率。（指數e = 2.718）
相關申論題
一. 美國職棒大聯盟的世界大賽系列賽是採7戰4勝制，即兩對戰球隊先取得4勝者為世界冠軍。因此，此系列賽最少要打4場而最多要打到7場才能決定世界冠軍。如果某年世界大賽系列賽是由球隊A對上球隊B，且給定每場比賽球隊A贏球機率及球隊B贏球機率皆為0.5，即5–5波，且每場比賽結果皆彼此獨立。如果隨機變數X代表此系列賽總售票數，且總售票數與此系列賽的總比賽場數關係為：總售票數=6400×(總比賽場數)2，例如，如果此系列賽總比賽場數為4場，則總售票數為6400×42=102400。請問本系列賽總比賽場數最可能為幾場以及算出X的期望值E(X)，即本系列賽預計的總售票數。
#361439
⑴考慮下列隨機變數X其機率密度函數（probability density function）： 其中 f1(x)為一平均值為1及標準差為σ 的常態機率密度函數（normal probability density function），而 f2(x)為一平均值亦為1及標準差為2σ 的常態機率密度函數。 下列為一組服從上述機率分配所得的隨機樣本： 請算出 σ2 之最大概似估計量的值。
#361441
⑵若某一次國家考試其某考試科目共有25題單選題，隨機變數X代表考生答對題數，且X之分配是每題答對機率為 p 的二項式分配（binomial distribution），下列是隨機取得6個考生答對題數資料： 根據上述資料，請算出X的標準差之最大概似估計量的值及 p的最小變異不偏估計量的值。
#361442
⑴請算出判定係數（coefficient of determination） R2 。
#361443
⑵在顯著水準α= 0.05，利用F檢定法檢定 H0 :β1=0對H1 :β1≠ 0 。
#361444
⑶在顯著水準α= 0.05，利用t檢定法檢定H0 :β1≥ 1 對H1 : β1 <1 。
#361445
⑴假定某地區的每日最高溫服從一平均值為μ 及標準差為4的常態分配。 針對下列假設， H0 :μ= 28 對 H1 :μ =30，隨機取得16筆此地區當日 最高溫資料。估計量為樣本平均值。給定下列3種檢定法：檢定法A： 若> c 則拒絕H0，反之則不拒絕H0； 檢定法B：若 > 30.17則拒絕H0，反之則不拒絕H0； 檢定法C：若 <30.5則拒絕H0，反之則不拒絕H0。 已知檢定法A之檢定力（power）為0.1587，且設定顯著水準為α= 0.015，請計算的值並決定上述3個檢定法那一個或那一些符合設定並有最大檢定力。
#361446
⑵一軟體公司欲比較一新版軟體是否較舊版軟體更能有效率執行程式；假定μ1為舊版軟體執行測試程式的平均執行時間，而μ2為新版軟體執行測試程式的平均執行時間，且x1,…,x6為舊版軟體執行測試程式之執行時間的隨機資料，而y1,…,y6為新版軟體執行測試程式之執行時間的隨機資料。給定下列資訊：x1,…,x6之平均值為7且變異數為5.6，而y1,…,y6之平均值為6且變異數為2.4，x1,…,x6與y1,…, y6之相關係數為0。請分別用獨立樣本（independent samples）t檢定法，即將x1,…,x6與y1,…,y6視為獨立樣本，及成對樣本（paired samples or matched samples）t檢定法，即將（x1,y1），…，（x6,y6）視為成對樣本，在顯著水準α= 0.01，檢定H0 : μ1≤μ2–2.5 對 H1 :μ1>μ2–2.5 。
#361447
⑶某民調機構欲比較候選人A的支持率p1 與候選人B的支持率p2 的差異。下列是此民調機構關於兩候選人支持度的兩份問卷： 已知根據上述問卷所得 p1– p2 之95%信賴區間其長度為0.0392，以及候選人A的支持人數大於候選人B的支持人數，即n < 2450。請算出n的值，並利用上述問卷得到 p2 的95%信賴區間。
#361448
六. 欲比較3種品牌汽車其耗油程度，給定A品牌汽車其每公升行駛平均里程數為μ1，B品牌汽車其每公升行駛平均里程數為μ2，而C品牌汽車其每公升行駛平均里程數為μ3。每種品牌各隨機抽測8台汽車並得到其每公升行駛里程數。下列是關於此3組樣本其相關資訊以及利用這3組樣本所做的統計分析： 此3組樣本其平均值為A品牌之平均里程數最大，而B品牌之平均里程數最小，此3組樣本其標準差皆相同，檢定 H0:μ1= μ2 對 H1 : μ1≠ μ2 的獨立樣本t檢定其t統計量絕對值為2，檢定 H0 : μ2= μ3 對 H1 : μ2≠ μ3 的獨立樣本t檢定其t統計量絕對值為1。在顯著水準α= 0.05，請利用單因子變異數分析法（one-way ANOVA）來檢定此3種品牌汽車其耗油程度 是否一致，即檢定 H0 : μ1= μ2=μ3 對 H1 : μ1 、μ2以及μ3並不完全相等。
#361449
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