109年 - 109 高等考試_三級_經建行政、工業行政、農業行政、交通技術：統計學#88981

⑴考慮下列隨機變數X其機率密度函數（probability density function）： 其中 f₁(x)為一平均值為1及標準差為σ 的常態機率密度函數（normal probability density function），而 f₂(x)為一平均值亦為1及標準差為2σ 的常態機率密度函數。 下列為一組服從上述機率分配所得的隨機樣本： 請算出 σ² 之最大概似估計量的值。

⑵若某一次國家考試其某考試科目共有25題單選題，隨機變數X代表考生答對題數，且X之分配是每題答對機率為 p 的二項式分配（binomial distribution），下列是隨機取得6個考生答對題數資料： 根據上述資料，請算出X的標準差之最大概似估計量的值及 p的最小變異不偏估計量的值。

⑵在顯著水準α= 0.05，利用F檢定法檢定 H₀ :β₁=0對H₁ :β₁≠ 0 。

⑶在顯著水準α= 0.05，利用t檢定法檢定H₀ :β₁≥ 1 對H₁ : β₁ <1 。

⑴假定某地區的每日最高溫服從一平均值為μ 及標準差為4的常態分配。 針對下列假設， H₀ :μ= 28 對 H₁ :μ =30，隨機取得16筆此地區當日 最高溫資料。估計量為樣本平均值。給定下列3種檢定法：

檢定法A： 若> c  則拒絕H₀，反之則不拒絕H₀； 

檢定法B：若 > 30.17則拒絕H₀，反之則不拒絕H₀； 

檢定法C：若 <30.5則拒絕H₀，反之則不拒絕H₀。

 已知檢定法A之檢定力（power）為0.1587，且設定顯著水準為α= 0.015，請計算的值並決定上述3個檢定法那一個或那一些符合設定並有最大檢定力。

⑵一軟體公司欲比較一新版軟體是否較舊版軟體更能有效率執行程式；假定μ₁為舊版軟體執行測試程式的平均執行時間，而μ₂為新版軟體執行測試程式的平均執行時間，且x₁,…,x₆為舊版軟體執行測試程式之執行時間的隨機資料，而y₁,…,y₆為新版軟體執行測試程式之執行時間的隨機資料。給定下列資訊：x₁,…,x₆之平均值為7且變異數為5.6，而y₁,…,y₆之平均值為6且變異數為2.4，x₁,…,x₆與y₁,…, y₆之相關係數為0。請分別用獨立樣本（independent samples）t檢定法，即將x₁,…,x₆與y₁,…,y₆視為獨立樣本，及成對樣本（paired samples or matched samples）t檢定法，即將（x₁,y₁），…，（x₆,y₆）視為成對樣本，在顯著水準α= 0.01，檢定H₀ : μ₁≤μ₂–2.5 對  H₁ :μ₁>μ₂–2.5 。

⑶某民調機構欲比較候選人A的支持率p₁ 與候選人B的支持率p₂ 的差異。下列是此民調機構關於兩候選人支持度的兩份問卷： 已知根據上述問卷所得  p₁– p₂ 之95%信賴區間其長度為0.0392，以及候選人A的支持人數大於候選人B的支持人數，即n < 2450。請算出n的值，並利用上述問卷得到 p₂ 的95%信賴區間。

六. 欲比較3種品牌汽車其耗油程度，給定A品牌汽車其每公升行駛平均里程數為μ₁，B品牌汽車其每公升行駛平均里程數為μ₂，而C品牌汽車其每公升行駛平均里程數為μ₃。每種品牌各隨機抽測8台汽車並得到其每公升行駛里程數。下列是關於此3組樣本其相關資訊以及利用這3組樣本所做的統計分析： 此3組樣本其平均值為A品牌之平均里程數最大，而B品牌之平均里程數最小，此3組樣本其標準差皆相同，檢定 H₀:μ₁= μ₂ 對 H₁ : μ₁≠ μ₂ 的獨立樣本t檢定其t統計量絕對值為2，檢定 H₀ : μ₂= μ₃ 對 H₁ : μ₂≠ μ₃  的獨立樣本t檢定其t統計量絕對值為1。在顯著水準α= 0.05，請利用單因子變異數分析法（one-way ANOVA）來檢定此3種品牌汽車其耗油程度 是否一致，即檢定 H₀ : μ₁= μ₂=μ3 對 H1 :  μ₁ 、μ₂以及μ₃並不完全相等。

七. 根據一份國人讀報偏好之報告指出，最常看A報的比率為 p₁ = 0.25，B報的比率為 p₂ = 0.2，C報的比率為 p₃= 0.15，D報的比率為 p₄ = 0.15，而其他報的比率為 p₅= 0.25。下列是一份關於民眾看報的問卷資料： 在顯著水準α= 0.1，利用上述問卷資料以及卡方檢定（chi-squared test） 來驗證上述報告是否可靠，即檢定：