106年 - 106-1 國立中央大學附屬中壢高級中學_教師甄選試題：數學科#61493

1. 設三階方陣A=，，則k+p+q= _______。

2. 設α、β為方程式x²+2x-5=0的兩根，求(α+1)(α+2)(β+1)(β+2)(α³+β³)= ________

3. 設 Z 為複數，滿足| Z |=1，則 Z⁵+Z-1=0 ，則Z= _______。

4. 設無窮數列的前n項之和為，則(a,b,c) = ________。

5. 如右圖，△OAB 中，。設以為直徑， C 為圓心的圓與交於P，且交於Q，求長為_______。

6. 已知 a、b、c 三數均為正整數，若 a、b、c 三數中的任意兩數的最小公倍數都是 m ，則稱 m 是 a、b、c 三數 的「協和」公倍數，例如，30、4、60 三數中的任意兩數之最小公倍數都是 60，故稱 60 是 30、4、60 三數 的「協和」公倍數。求滿足 36 是 a、b、c 三數的「協和」公倍數之序對 (a,b, c) 共有_______組解。

7. 設直線 L 與函數 f(x)=x³+x+1交於A、B、C三點，且，則直線 L 的方程式為_______。

8. 實數x,y,z滿足x²+y²+z²=1，試求的最大值=_______。

9. 已知 △ABC 的面積為，其中兩條中線的長度為 3、6，求第三條中線的長度最大值為______。

10. 一隻烏龜沿著右下圖的線段爬行（每線段都等長）。設烏龜在每線段中不改變爬行的方向，而在每個交點處選擇任一方向的機率相等，如：在 A₁ 選擇 A₂ 、 A₃ 的機率各為 ，在 A₂ 選擇 A₁、 A₃、 A₄ 、 A₅ 的機率各為  ，設烏龜 爬行每一線段所需要的時間都是一分鐘，則烏龜從 A₁ 爬到 A₆ 所需時間的期望值為________。

11. 設乘開後的個位數字為 a ，小數點後第一位數字為 b ，則數對 (a ,b)= _______。

12. 聯立方程組 ，求之值=_______。

二、計算證明題(共 28 分) 

 1. 當cos2x≥0時，求不等式解的範圍。 (8 分)

(1)求證: 。(5 分)

(2)當 △OAB 面積為時，求 k 之值。(5 分)

3. 設x,y,z整數且x+y+z=3，x³+y³+z³=3,但x≠1,y≠1,z≠1,試求x²+y²+z²之值。(10 分)