114年 - 114 國立師大附中_教師甄選︰數學#126229

A. 若同時投擲三個公正的骰子一次，則三個骰子中，出現有兩個骰子點數和為 7 或三個骰子點數和為 7 的機率為。

B. 設 T 為平面線性變換矩陣，T 將點( 1 , -1 )  變換為點( 2 , 0 )，並將點( 3 , 1 )變換為點
( 6 , 4 )。現將點P( 2 , -2025 )  連續使用 T 變換 n 次後為 Q 點，若 Q 點在第一象限，則 n 的最小自然數為 ⑤⑥。

C. 如下圖，坐標空間中，有一個實心體Ω，其底部為在 xy 平面上的橢圓區域
，若用垂直x軸於點( x, 0 , 0 ) x的平面E，對Ω所作的截面都是正方形，則Ω的體積為⑦⑧。

D. 設函數f :(0 ,+∞ )→ ,滿足 ,> 0，則f (128)的值為⑨⑩⑪。

E.△ABC中，若tan Atan B =tan Btan C+tan Ctan A  ，則cosC的最小值為 。

F. 已知tanα  、 tan β為實係數方程式x²+(3p-1)x+9p² = 0的兩實根，且
不存在，若可能的實數 p 值之最大範圍為a≤ p ≤b  ，則a +b 的值為 。

G. 坐標空間中，已知直線為兩直線與的鈍交角平分線，其中a ,b ,c ,d ∈ ，則a+ b+ c +d 的值為⑰⑱ 。

H. 坐標平面上，設通過點P k ( k, 6 )恰可作 3 條相異直線與y=f(x)=x³-x的圖形相切，若可能的實數 k 值之最大範圍為 ，則a × b的值為⑲⑳。

I. 有紅、黃、藍三種顏色的球，每種球皆有九顆，若將取出來的球排成一列，規定只有黃球和黃球不能相鄰，則排出一列共九顆球的排法共有種。

J. 設ω是五次複係數方程式5-3x⁴-c=0的虛根，已知|c| =48 且|ω| =2 ，若 ，其中α ,β , 且α ,γ互質，i =√-1，則α+β+γ的值為。

K. 設f (x)為二次實係數多項式，滿足 ，則f ( -1) 的值為 。

L. 已知方程式的正實數解為t ，將t²的值用四捨五入法取至小數點後第二位，則t2≈0.。

M. 定義符號：=a₁×a₂×a₃×...×。設b₁,b₂,b₃,...為n個皆大於1的相異正整數，若
，則n的最小正整數值為 。

N. 設x ,y ,z , ，已知x+y +z = 0， x²+y²+z²=6，若x²+y²+z²的最大值為 M，最小值為 m，則M × m的值為。 

O. 設 ，其中n,
，則的值為 。

P. 已知log2 ≈0.3010  ，log3 ≈0.4771  ，log7≈ 0.8451  ，設
，若N的整數部分為a位數，N的最高位數字為b，則數對(a ,b ) = 。

二、非選題

Q. 坐標空間中，有三個彼此互相垂直的向量。已知= ( 2 , -1 ,0 )且 ( -1 , 2 , 3 )。試求由所張出的平行六面體體積。(請使用兩種不同的解法)

R. (1) 試敘述『微積分基本定理』(The Fundamental Theorem of Calculus )。

(2) 在課堂教學『微積分基本定理』時，試設計一個範例印證其相關觀念。

(3) 當學生學習『微積分基本定理』時，試舉例學生會出現何種錯誤情形，並寫出其正確的方式。