114年 - 114 臺北市立陽明高級中學_正式教師甄選試題：高中數學科#126749

1. 設 x、y 均為整數，則(x + y + 2027)² = x² + y² + 2027²有_____組整數解？

2. 滿足 ，其中 x、y、n 為自然數，且x ＜ y，例如：，則 x=2，y=3 為一組解，以(2,3)表示。 請問此方程式的所有解為_____ 。

3. 在空間中，已知平面 E﹕ x +2y+2z=9與球面 S﹕x²+y²+z²=16交於一圓。若球面 S 被平面 E 切成兩塊，求容積較 小那一塊的容積為_____ 。

4. 試求由 y = x – x² 及 y = 0 所圍成的區域繞著 x = 2 旋轉所得到實體之體積為_____ 。

5. 在坐標空間中，xz 平面上有一直線 L  : √3x -z-6=0 ，將此直線繞 z 軸旋轉得到一個直圓錐面，此圓錐面和 xy 平面 圍成一個圓錐體。現將一球塞進此圓錐體中，則此球面半徑最大時的球心坐標為_____ 。

6. 現有八枚相同的硬幣，每次至少取 1 枚，一直到取完為止。設每一種取法的機率相等，則在已知第二次取 3 枚的情 況下，總共取了四次才取完的條件機率為_____ 。(化為最簡分數)

7. 橢圓 上相異三點  P( x₁, y₁)、、 R ( x₂, y₂)分別至焦點 F(4,0)的距離成等差數列，求x₁+x₂ =_____ 。

8. 一個正十七邊形的頂點A₁ , A₂ ,A₃ , ..., 皆落在單位圓 C 上，點為圓 C 上一點，試求 =_____ 。

9. 方程式2x⁶+3x⁵+4x⁴-3x³+4x²-3x+2=0的六個根中，落在複數平面第一象限之所有根的總和為_____ 。

10. 設 ，則 p＝_____ 。

11. 設 ，其中 x ∈ R  ，試求 f (x) 的值域為_____ 。

12. 試求滿足 之所有點(x ,y )  所形成圖形的面積為_____ 。

1. 已知由f(x)-x²+4x+1 及 g(x)=-x+5兩圖形所圍成之封閉區域 A，若作直線 L 垂直 x 軸，分別與封閉區域 A 的 邊界交於 P、Q 兩點，求在封閉區域內的長之最大值為何？

2. 設 a、b、p、q 均為實數，如果對任何的實數 x 而言，等式都能成立，則數對＝？（已知=1048576 ）

3. 已知一個圓內接四邊形 ABCD 中可找到一個內切圓，且 E、F、G、H 四點分別為此四邊形 ABCD 與其內切圓相切 的四個切點（如圖所示），若，求的長度為何？

4. 小明在一本書上看到一道試題如下：

已知 x、y、p、q 為實數，並且滿足2x²+3p²=2y²+3q²=(xq-yp)²=6求(x²+y²)(p²+q²) 的值。 

因小明無法知道該題的解法，因此求助於任課老師，請您以學生在中學階段學過的數學概念出發，提供小明至少 4 種解法。