109年 - 109 國立嘉義高級中學_科學班甄選入學科學能力檢定試題：數學科#124722

1. a 是最接近的正整數，b 為的整數部分，則 a²-b² =？

2. 方程式=0 的解為何？(有兩解)

3. O 為△ABC 三條內角平分線的交點，若∠AOB：∠BOC：∠AOC = 4：5：6，則∠ABC =？

4. 如果一個五位數能被 9 整除，且其各位數字的乘積為質數，則所有滿足這條件的五位數的平均為何？

5. 有一矩形的長寬分別為 6 和 8，畫出其中一條對角線，然後在兩個三角形內畫出內切圓。試求出 這兩個圓的圓心距離為何？

 (1) 10 萬隻怪獸多久會被完全殲滅？或永遠無法被殲滅？

(2) 10.2 萬隻怪獸多久會被完全殲滅？或永遠無法被殲滅？

7. 已知二次函數 y=-(x-2)²-2020 的圖形上有兩點 A(m, -4027) 及 B(n, -4027)，當點 C(m+n, p) 也在此函數圖形上時， 則 p=？

8. 阿德賣 150 公斤的香蕉，第一天每公斤賣 50 元；沒賣完的部份，第二天降價為每公斤 40 元；第三天再降為每公 斤 36 元，到第三天全部賣完，三天所得共為 6700 元。假設阿德在第三天所賣香蕉的公斤數為t，可算得第二天賣 出香蕉的公斤數為 at+b，則數對 (a, b) 為何？

9. 某服飾品牌計畫在 A、B、C、D、E、F 六個城市設立門市。成立之初，準備在六個城市共設立 27 間分店，每個城市至少有 4 家分店，例如：A、B、C、D、E、F 的分店數可能分別為 4、4、4、4、4、7 或 5、5、5、4、4、4 或...其他。為使各家分店之間能夠迅速調貨，要求在不同城市中，任兩家分店之間必須設置一條快遞路線。同一城市中的分店不需設置快遞路線。 請問最少需要幾條快遞路線？

10. 已知一正整數 N 之二進位表示法為時，代表
，其中皆為 0 或 1
又一純小數之二進位表示法為 (0.b₁b₂b₃…)₂ 時，代表
M = ，其中 b₁, b₂, b₃, … 皆為 0 或 1
而有限小數皆可表為 N+M =
根據以上定義，試將 (1.100111)₂+(10.101001)₂ 表為十進位。

11. 已知一等差級數有 50 項，前 30 項的和是 40，後 30 項的和是 70，則首項與末項的和是多少？

12. 已知 A =，求 A 的整數部分為何？

13. 如圖，圓心為 O 之圓與直角三角形 ABO 的斜邊交於 C、D 兩點，且= 1:4:1，若圓的半徑長為 10，則△ABO 面積為何？

14. 若為一最簡分數，且其值介於 20 至 30 之間，則滿足此條件之 p 總和為何？

15. 有一運算子 ⊗ 定義為：a ⊗ b =，則 = ?

16. 已知西元年之 3 月 14 日為星期六，且西元 N+1 年之 5 月 14 日亦為星期六，則西元 N+2 之 7 月 14 日為星期幾?

17. 在△ABC 中，= 8，D 在上，= 3:2，P 點為上的任意一個點。現在為使的值最小，則長應為多少？

18. 如圖，= 4，以為直徑的圓與一個半徑為 8 之大圓內切於 P。又 AQRS 為一正三角形，其中 R、S 皆落在大圓上。求= ?

19. 將 1,2,3,4,5,6 隨意組成 3 個數，數字不重複使用，若此 3 個數皆為奇數，則定義成 1~6 的一個「奇分割」。例如：{1,25,463}、{45,23,61} 及 {1,3,2465} 為三種不同的「奇分割」，而 {1,25,463} 及 {463,25,1} 視為相同「奇分割」；即分割的數順序不同亦視為相同分割。試問：1~6 有幾種「奇分割」？

20. (共 2020 個 7) 除以 100 的餘數為何？