111年 - 111 教育部受託辦理公立高級中等學校教師甄選試題：數學#107918

3. 若a 、b為實數，則之最小值為何？ (A) (B) (C) (D)

4. 小明到畫廊賞畫(如圖)，牆壁上懸掛一幅山水畫AB，A點，B點分別離地4公尺，2公尺 高，若小明的眼睛C離地1.5公尺高，則C離牆壁多遠時，他對該幅「山水畫」的視角θ 最大？
(A)公尺 (B)公尺 (C)公尺 (D)公尺。

5. 如圖，A, B, C 分別為正立方體三稜的中點，則過 A, B, C 三點的平面與此正立方體的截痕形狀為何？
(A)六邊形 (B)五邊形 (C)四邊形 (D)三角形。

6. 的解為 x＝α，x－10＋logx＝0 的解為 x＝β，則為何？ (A)1 (B)5 (C)10 (D)100。

7. 求值= (A)24 (B)33 (C)93 (D)279。

9. 設兩歪斜線 ，平面 E :2x-y=6 。若 A 點在 L ₁上，B、C 兩點在 L ₂ 上，且△ABC為正三角形。請選出所有的正確選項？ (A)直線 L ₂ 與平面 E 平行 (B)當△ABC有最小面積時，A 點坐標為(1, 2 ,1) (C)當△ABC有最小面積時，A 點在直線 L ₂ 的垂足坐標為H(0 ,-6 ,-4) (D) △ABC的最小面積為

10. 已知多項式函數f(x)=x³-9x²+26x-28，請選出所有正確的選項？ (A)函數f(x²-4x+3)除以(x-3)  的餘式為-28 (B) (C)若函數f(x)的圖形在點(2 , -4)的一次近似直線為 L，則 L與坐標軸圍成的三角形面積為16平方單位 (D)不等式f(x)<2的正整數解有5個。

11. 一袋中有 10 個紅球，5 個黑球，若小華每次從袋中抽一球，看完顏色後又將球放回袋中，若連續出現三次同一顏色球就停止。a 為恰好抽三次停止的機率；b 為在第一次抽中紅球的情況下，恰好在第四次停止的條件機率；c 為在第一、二次都抽中黑球的情況下，恰好在第五次停止的條件機率。則下列哪些選項是正確的？ (A) a≤b (B) b<c (C) c≤a (D) a=b+c

12. 已知圓周上有8個不同的等分點﹒選出正確的選項：
(A)以這些點為頂點，可決定24個直角三角形 (B)以這些點為頂點，可決定24個鈍角三角形 (C)以這些點為頂點，可決定8個銳角三角形 (D)以這些點為頂點，可決定70個四邊形。

 一、填充題
1.已知a,b 為實數，且a+b=13，試求的最小值？______

3.小青隨機地從1, 2, 3,…, 20中取一個數A，小玲再隨機地從1, 2, 3,…, 20中任取一個異於A的數B。 試求|B-A| ≥ 3的機率？______

5.已知實數a>1，正方形 ABCD 的面積為 144，其中 與 x 軸平行，且 A、B、C 分別為函數圖形上的點，試求=______

6.設f(x)=x³+3x²-4x-2，g(x)=x⁴+6x³+5x²-16x-2且α,β,γ 為f(x)=0的三個根，則=______

二、計算證明題
1.對所有的正整數n，若數列的前n項之和 恆成立，求之值為何？

2.(1)已知自然常數 ，試寫出並證明之。

(2)已知，求= __________。