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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 111年 - 111 鐵路、國家安全情報特種考試_高員三級、三等_電力工程、電子工程、電子組（選試英文）：工程數學#108623
111年 - 111 鐵路、國家安全情報特種考試_高員三級、三等_電力工程、電子工程、電子組（選試英文）：工程數學#108623
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
111年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
7
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1.
，其反矩陣（Inverse matrix）為
，下列何者正確？(A) a = -0.1 (B) b = 0.1 (C) c = 0.2 (D) d = 0.3
2. 矩陣
而矩陣
， 則此二矩陣的乘積AB之行列式值 （Determinant）為何？ (A) det( AB) = 24 (B) det( AB) = -24 (C) det( AB) = 12 (D) det( AB) = -12
3. 下列那一個矩陣具有反矩陣（Inverse matrix）？(A)
(B)
(C)
(D)
4. 向量a=[1,2,3]，向量b=[-4,-5,-6]，設兩向量之夾角為θ，則cosθ = ？(A)
(B)
(C)
(D)
5. T是R
2
到R
2
的線性轉換，
下列何者正確？ (A)a =5 (B)b = 4 (C)c = 3 (D)d = 2
6. 矩陣
，則A
2
的特徵值（eigenvalues），不可能是下列那一個？ (A)9 (B)1 (C) 16 (D)4
7. 矩陣
的3個特徵向量（eigenvectors）為
，則下列敘述何者錯 誤？ (A)
是 A
3
+ 6 A
2
的一個特徵向量 (B)
是 A
5
- 3 A
4
+ 2 A
2
的一個特徵向量 (C)
是 A
2
- 2 A 的一個特徵向量 (D)
是 A
5
+ 4 A
3
- A 的一個特徵向量
8. 下列何者不是「可對角化的（Diagonalizable）」矩陣？(A)
(B)
(C)
(D)
9. 給定
，則下列敘述何者錯誤？ (A)
(B)
(C)θ = 0 (D)Y = 0
10. 下列的複數函數中，何者是解析函數（Analyticfunction）？(A)f(x,y)=x
2
-iy
2
(B) f ( x, y) = x - iy (C) f ( x, y ) = x
2
+ y
2
- 2 y + i(2 xy - 2 x) (D) f ( x, y ) = x
2
- y
2
- 2 y + i(2 xy + 2 x)
11. 令C:|z|=3為以原點為圓心而半徑為3的圓周，則逆時鐘繞著C轉一圈所計算出來的複數積分
之值為何？ (A) -πi (B) 2π i (C) -2π i (D)0
12. 複數無窮級數
的收斂區域（ Region of convergence）為何？ (A)1 < |z | < 3 (B)
(C)
(D) |z | > 3或 |z | <1
13. 二階常微分方程式y"+4y'+3y=0，y(0)=3，y'(0)=-5的解為何？(A)
(B)
(C)
(D)
14. 二階常微分方程式(x-2)
2
y"-5(x-2)y'+8y=0的解之型式為何？ (A) y = c
1
( x - 2)
3
+ c
2
(x - 2)
5
(B) y = c
1
( x - 2)
2
+ c
2
( x - 2)
6
(C) y = c
1
( x - 2)
3
+ c
2
( x - 2)
4
(D) y = c
1
( x - 2)
2
+ c
2
( x - 2)
4
15. 利用拉普拉斯轉換（Laplacetransform）解下列二階微分方程式y"+5y'+6y=2δ(t-1)，y(0)=0 ， y'(0) = 0 ，其中 δ (t ) 為脈衝函數（unit impulse），對於 t > 1 ，下列何者正確？(A)
(B)
(C)
(D)
16. 函數
且 f ( x + 2π ) = f ( x) ， 傅立葉級數 （ Fourier series ） 展開成
，則 a + b + c + d = ？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
17. 已知函數
傅立葉轉換 （ Fourier transform ） 為
，則函數
的傅立葉轉換 G (ω ) 應該為何者?(A)
(B)
(C)
(D)
18. 某一種Covid-19的檢測方式，可將90%的Covid-19感染者判為陽性，但是會將10%的感染者誤判為陰性（偽陰性，Falsenegative）。而這種檢測方式又會將95%的Covid-19非感染者判為陰 性，但有 5%的非感染者則會被誤判為陽性（偽陽性，False positive）。假設某地區實際上只有 10% 的 Covid-19 感染者，那麼隨機選擇該地區一個居民，以此種檢測方式做檢驗，結果此居民為陽性反應，請問這位居民真正感染 Covid-19 的機率是多少？ (A)
(B)
(C)
(D)
19. 機率質量函數
，若 X 期望值為 a 和變異數為 b ，則下列何者正確？ (A)a = 2 (B)
(C)
(D) b =1
20. 已知X和Y聯合分布機率密度函數（Jointprobabilitydensityfunction）為
下列何者錯誤？ (A)在 0 ≤ x ≤1 ， f
X
( x) = 2 x (B)在 0 ≤ y ≤1 ， f
Y
( y) = 2(1 - y) (C)條件機率密度函數
(D)條件機率密度函數
申論題 (7)
一、請利用拉普拉斯轉換（Laplacetransform）求解下列微分方程式，其中
。y" +y sin 2t ， y(0) = 0 ， y'(0) = 1。（15 分）
(一)求A的所有特徵值（eigenvalues）與特徵向量（eigenvectors）。（5 分）
(二)求A
5
-2A
4
-A
3
+2A
2
+3A+2I，其中I是2 ✖ 2 單位矩陣 （ identity matrix）。（5 分）
(三)求A
n
，其中n是任意正整數。（5分）
三、請利用留數（residue）計算
。（10 分）
(一)設 Y= 3 X+2 。求 Y 的期望值與機率密度函數。（5 分）
(二)設Z=X
2
。求Z的期望值與機率密度函數。（5分）
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，其反矩陣（Inverse matrix）為
，下列何者正確？(A) a = -0.1 (B) b = 0.1 (C) c = 0.2 (D) d = 0.3
而矩陣
， 則此二矩陣的乘積AB之行列式值 （Determinant）為何？ (A) det( AB) = 24 (B) det( AB) = -24 (C) det( AB) = 12 (D) det( AB) = -12
(B)
(C)
(D)
(B)
(C)
(D)
下列何者正確？ (A)a =5 (B)b = 4 (C)c = 3 (D)d = 2
，則A2的特徵值（eigenvalues），不可能是下列那一個？ (A)9 (B)1 (C) 16 (D)4 
的3個特徵向量（eigenvectors）為
，則下列敘述何者錯 誤？ (A)
是 A3 + 6 A2 的一個特徵向量 (B)
是 A5 - 3 A4 + 2 A 2 的一個特徵向量 (C)
是 A2 - 2 A 的一個特徵向量 (D)
是 A5 + 4 A3 - A 的一個特徵向量
(B)
(C)
(D)
，則下列敘述何者錯誤？
(A)
(B)
(C)θ = 0 (D)Y = 0
之值為何？ (A) -πi (B) 2π i (C) -2π i (D)0
的收斂區域（ Region of convergence）為何？ (A)1 < |z | < 3 (B)
(C)
(D) |z | > 3或 |z | <1 
(B)
(C)
(D)
(B)
(C)
(D)
且 f ( x + 2π ) = f ( x) ， 傅立葉級數 （ Fourier series ） 展開成
，則 a + b + c + d = ？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
傅立葉轉換 （ Fourier transform ） 為
，則函數
的傅立葉轉換 G (ω ) 應該為何者?(A)
(B)
(C)
(D)
(B)
(C)
(D) 
，若 X 期望值為 a 和變異數為 b ，則下列何者正確？ (A)a = 2 (B)
(C)
(D) b =1
下列何者錯誤？ (A)在 0 ≤ x ≤1 ， f X ( x) = 2 x (B)在 0 ≤ y ≤1 ， fY ( y) = 2(1 - y) (C)條件機率密度函數
(D)條件機率密度函數
。y" +y sin 2t ， y(0) = 0 ， y'(0) = 1。（15 分） 
。（10 分）