114年 - 114 關務特種考試_四等_關稅統計（選試英文）：統計學概要#126671

一、假設新冠肺炎之某快篩試劑的準確率為 95%，亦即若有一人感染該病症，那麼該試劑的檢測結果有 95%的機率為陽性。反之，若一人未感染該病症，那麼該試劑的檢測結果有 9%的機率為（偽）陽性。若某一城市有 25% 的人口已感染新冠肺炎，且該城市的某一市民使用該快篩試劑的檢測結果為陽性，在此情形下，該市民實際感染新冠肺炎的機率為何？（15 分）

(一)請寫出此一隨機實驗的樣本空間（sample space）。（提示：三個銅板的投擲結果若分別為“正面”、“反面”、“正面”，那麼樣本空間中有一個元素為“（正反正）”，其餘類推）（5 分）

(二)令隨機變數 X 代表三個銅板投擲後的正面出現次數（例如，當三個銅板的投擲結果分別為“正面”、“反面”、“正面”，那麼 X =2 ，其餘類推）， 請寫出 X 的機率分布。（7 分）

(三)請計算 X 的期望值 E ( X ) 與變異數Var ( X ) 。（8 分）

(四)若有 10000 人輪流做此種三個銅板的投擲實驗，得出如題(二)之 X 的10000 個隨機變數 X₁ , X ₂ ,..., X₁₀₀₀₀，那麼會很接近題(三)那個數值？請說明你的答案及所依據的統計學定理。（10 分）

(一)請計算出全體入場顧客平均消費金額的 95%信賴區間。（15 分）

(二)如果賣場經理覺得題(一)的信賴區間太寬，那麼在維持信心水準 95%及消費金額標準差不變的情況下，應該怎麼做才能讓信賴區間變窄？請說明你的理由。（5 分）

(三)如果其他情況保持不變，將信賴區間的信心水準由 95%降至 90%，則信賴區間會變窄還是變寬？請說明你的理由。（5 分）

(四)若在進行抽樣調查之前，賣場經理決定使用樣本平均數（sample mean）做為所有顧客平均消費金額的點估計，且已知其賣場顧客消費金額的（母體）標準差為 625 元，在此情形下，其顧客消費金額的抽樣數目應至少設定為多少，才能有 95%的機率使估計誤差可以控制在 50 元以內？（10 分）

(一)請寫出任課老師進行卡方適合度檢定（goodness of fit test）的虛無假設與對立假設。（5 分）

(二)請寫出在題(一)之虛無假設下，該程式在此實驗中生成骰子點數 1、2、3、 4、5、6 的期望出現次數。（5 分）

(三)請以題(一)與題(二)的結果進行適合度檢定，並說明該修課的同學，其程式是否能成功模擬公正骰子的投擲。（10 分）