114年 - 114-1 桃園市立武陵高級中等學校_正式教師甄選：數學科#126701

1. =_____ 。

2. 實數 a, b, c 皆不為 0，直線與 交於一點 P， 且 L₁ 與交於一點 Q，試求向量的坐標表示法為_____ 。

3. 已知 f(x) = 2cos3x +1 ，0 x6 ；若f(x) = 1 恰有 n 個相異實數解，則 n =_____ 。

4. 如圖為一拋物線，其中 F 為交點，A、B 為拋物線上相異兩點，F 在 與拋物線所夾內部區域。 已知 =1， = 2，∠ AFB=120° ，求此拋物線正焦弦長為_____ 。

5. 一個半徑為 1 之小球在一個內壁邊長為 6√6 之正四面體容器內，小球可向各方向自由運動， 則在四面體容器的內壁不會被小球接觸到的面積總和為 _____。

6. 若設坐標平面上有曲線 Γ₁ : y=3x-x² 與 Γ₂ : y=mx  。Γ₁ 與 x 軸所圍的面積 A 被直線Γ₂ : y=mx 平分成二等分，求 m 之值為 。

7. 從 1,2,3,4,5,6,7 這七個數中，取出任意數字組合，組合內的數字不重複(數字組合可以取 1 到 7 個 數字，但是不可以不取任何數字。例：3 是取一個數字的組合；1,2,5 是取三個數字的組合)， 而且每種被取出的數字組合的機率皆相等。則其數字組合的乘積是一完全平方數的機率為_____ 。

8. 設實數 a、b 滿足 ，則 a +b 的值為 _____。

9. 空間座標中兩平面 E₁ ： 2 x-2y+z=1 、 E₂ ： 4x-y-z=2 ，而 L 為 E₁、 E₂ 的交線，且 E₁ 上有兩 點 A( −2,1, 7)  、 B( −1, 0,3)  。若在平面 E₁ 上以 A、 B 為焦點作橢圓 Γ ，且 Γ 在 E₁ 上與 L 相切於 P 。 則 P 點坐標為_____ 。

10.函數 f (x) 在[1,3]上連續且滿足 ，則 f (2) =_____ 。

1. 已知雙曲線 的焦點為 F₁、 F₂ 。假設 P(a ,b ) 為 Γ 上異於頂點的動點。 若 r(a ) 為 △PF₁F₂ 的內切圓半徑，則 = ______

2. 下圖為示意圖，已知正方體 ABCD-EFGH  之邊長為 3，另有以 A 為球心， 2√3 為半徑之球面， 問球面與正立方體表面所交出之曲線長為何？

3. 一個 2n 位正整數，若將其中任意兩個位數的數字互換得到一個新的 2n 位正整數，稱之為一次 交換。例：將「3698170230」中的 3 跟 6 一次交換可以得到「6398170230」；將「29250410」 中的 9 跟 0 一次交換可以得到「20250419」。證明：任意 2n 位的正整數可經過有限次的交換， 使得前 n 位的數字和與後 n 位的數字和，兩者差的絕對值小於等於 9，其中 n 為正整數。