題組內容

■Rmxn: the set of m x n matrices with entries in R.

■ : the transpose (inverse) of matrix A.

■ det(A): the determinant of matrix A.

■ Null(A): the null space of matrix A.

■ rank(A) (nullity(A)): the rank (nullity) of matrix A.

■ I_n: the identity matrix of size n x n.

■: the matrix representation of T relative to a and β.

(1) True or False (If true, prove it; if false, give a counterexample or disprove it).

(vii) (5%) In R³, if we define the inner product <,> by
then R³ with this defined inner product is an inner-product space.

助人為本

詳解 #7385535

2026/05/27

所以矩陣定義內積的問題

必須要滿足兩個必要條件

1.要對稱

所以用肉眼看可以發現右上角的數字為1，而左下角的數字為2

所以不對稱

2.對角線有負數(代表內積出來會是負的)

所以不符合

所以舉反例

可以令X=(1,0,0)的轉置，Y=(0,0,1)的轉置

然後互相乘可以發現一個內積為1，另一個內積為2

所以不相等其不對稱，故不是內積空間