1、證明算幾不等式(5 分)若 a, b 為非負實數，則，且等號成立於a = b時。

2、已知 a﹑b﹑c﹑d 均為實數﹐且 a2 + b2 = 8﹐c2 + d2 = 24﹐求的最小值為____________ 。

3、空間中，以為共同邊的兩正方形 ABCD、 ABEF ，其邊長皆為 4 。已知內積=11 ，則 =__________。

4、1968 年美國海軍潛艇天蠍號（USS Scorpion）在西班牙與葡萄牙的大西洋海域失蹤， 面對茫茫大海，如何搜尋被擊沉的潛艇是件棘手的工作。後來，由「貝氏搜尋理論」 專家-約翰克萊文（J. Craven）博士訪談了經驗豐富的潛艇指揮官與專家，建立天蝎 號可能沉沒地點的假設，並從先前的航跡圖，確認出潛艇最有可能掉落的海域。接著，克萊文將這個海域劃分成由許多矩形所成的網格。開始調查潛艇掉落在每個方格的機率，每次只搜尋掉落機率最高的方格。以下我們進行事件與數據的假設：(1)每次只搜尋潛艇掉落機率最高的區域(即右圖中鋪色方格)，白色方格區域本次不進行搜尋。 (2)設A 表示潛艇掉落於鋪色方格的事件，B 表示潛艇被尋獲的事件。(3)已知本次潛艇掉落在鋪色方格的機率值為 0.7，且已知當潛艇掉落於此方格時，潛艇被尋獲的機率為 0.9。「貝氏搜尋理論」專家-約翰克萊文（J. Craven）博士聲稱「搜尋鋪色區域後，在找不到潛艇的條件下，潛艇落在 鋪色區域的機率將會降低；同時，潛艇落在其他方格的機率就會有所提高，接著只要依序繼續尋找機率最高的另一個方格，如此反覆循環，直到尋獲到殘骸為止。」後來，「貝氏搜索理論」也就成為「大海撈針」時用來協助搜尋、探索落海物件時的有效工具。試問：在本題中，搜尋鋪色區域後，已知在找不到潛艇的條件下，潛艇落在鋪色區域的機率會變為___________ 。

5、設 L 為平面上過原點的一直線，已知點 P(7, − 1)對L作鏡射變換後得到點 Q(1,7)，則此鏡射變換對應的二階方陣為 ，求 d =___________ 。

2、證明餘弦定理(6 分)若 a, b 和 c分別表△ABC 三內角∠A,∠B 和∠C 的對邊長，則a2=b2+c2-2bc cosA 。

3、證明柯西不等式(實數形式) (8 分)對於任意實數a1 ,a2 ,b1 ,b2，不等式 (a12+a22 )(b12+b22 )≥ (a1b1+a2b2)2恆成立，且等號成立於a1b2=a2b1時。

五、多元選修「數學素養探究」課程設計：10 分請參閱下方資料，設計一門高一上學期多元選修「數學素養探究」課程 (一)關於數學素養與素養導向評量(二)第一冊數學章節名稱

1.舉例說明學習指標「美-中-1-2-1 探索生活環境中事物的色彩、形體、質地的美，感受 其中的差異」的意涵(2 分)，並以質地為探索焦點，設計兩個 30-40 分鐘的連貫性學習 活動(包括使用教材及活動重點) (8 分)。

2.孔雀班是新組成的中大混齡班，老師介紹各個學習區後，就讓幼兒自由選擇學習區 並自由操作。許多幼兒進入組合建構區玩，但有幼兒玩到一半反應不會玩、看不懂 範例圖或說明書、找不到想要的顏色、形狀等，就放棄跑到其他區去玩。從組合建構 區的環境布置及幼兒本身的角度，以一項教具，分別說明導致出現上述現象的一種 可能原因(4 分)，並寫出對應的具體改善策略(6 分)。

3.中班的小志和阿芳對於遊戲場的溜滑梯和攀爬架的高度哪一個比較高，起了爭執。 老師決定設計一連串的活動，以深化幼兒對測量的概念。請列出以身邊物件進行測量 時所須掌握的 3 個原則，並以上述情境說明。(10 分)