108年 - 108 嘉義高中科學班科學能力檢定：數學#106496

1. 有一個函數f (x)滿足，其中n為正整數，求f (1000) + f (3000) + f (5000) + f (7000) + f (9000) = ？

2. 如下圖所示，正方形ABCD中，E 、 F 、G 、 H為四邊上的點， 且。已知小正方形KLMN 的面積為 16平方公分，求大正方形ABCD的面積為？

4. 給定點C(3,1)，動點A在直線x = y上，動點B在x軸上，求△ABC 周長的最小值是？

5. 設a為實數，，求a =？

6. 如下圖，在梯形ABCD中， 平行 ， 且。若此梯形有 一半徑為2的內切圓，且此梯形面積為22，求=？

7. 距離每個國家領土兩海浬之內的海域稱為領海，如下圖一所示，三角型區域 為領土，虛線圍成的區域(不包含領土)即為該國領海，虛線上每個點距離最近 的領土皆為2海浬。若有另一島國領土如下圖二，其中，，且∠A = ∠C = 90℃，求圖二的領海面積是多少平方海浬？

8. 如下圖，在△ABC中，，某質點依下列規律運動：
(1)先從上一點P₁出發，以C為圓心，為半徑繞圓弧運動到達邊上的點Q₁ 。
(2)再以A為圓心，為半徑繞圓弧運動到達邊上的點R₁。
(3)再以B為圓心，為半徑繞圓弧運動到達邊上的點P₂ 。
(4)依此類推，可得點P₂ 、Q₂ 、 R₂ 、 P₃、Q₃、...........。現在將ABC放在坐標平面上，令B  (0,0)，C  (15,0) ， (9,0) P1 ，求P10的坐標為？

9. 每本書都有一個國際標準書碼(ISBN)，這是一個十位數的數字，前九碼稱為分類碼，第十碼稱為檢查碼，檢查碼的 計算方法是由分類碼的每個數字依序乘以1 ~ 9，然後再除以11得到的餘數。當餘數為10的時候，規定檢查碼為x ，當餘數分別為0 ~ 9的時候，此數字即為檢查碼。舉例來說，某書的分類碼是957 - 990 - 882("-"符號為分隔數字用)， 則計算9✕1+ 5✕2 + 7✕3+ 9✕4 + 9✕5+ 0✕6 +8✕7 +8✕8 + 2✕9 = 259 ，而259除以11的餘數為6，則此書的檢查碼為6，完整的 ISBN 為957 - 990 - 882 - 6。現有一本書的 ISBN 為049 - 620 -112 - 0 ，若已知此書的分類碼有一個數字抄錯且僅有此數字抄錯，求此書正確的 ISBN 是多少？

10. 已知數列皆為等差數列，且，則=？

11. 試計算，若其值為，其中a 、b為整數，則數對(a,b) =？

12. 在直角△ABC中，∠B = 90°，P₁、P₂、P₃、… .、P₈將斜邊分成9等分，已知= 51，則斜邊長為？

13. 考古學家挖掘某金字塔時發現該金字塔按下列規則建造：(一)此金字塔為一正四角錐(即底面為正方形，四個側面 皆為等腰三角形，金字塔頂點投影到底面後會落在正方形中心)。(二)以此金字塔的高為一邊所形成的正方形面積 恰為側面一個三角形的面積。若令底面正方形的邊長為2a ，側面三角形的高為s，求=？

14. 如下圖，在△ABC中，已知為∠BAC的角平分線，且D在上。若過A、 D且與相切的圓分別交於M 、 N，試求△AMN的周長為？

15. 對所有的正整數n，若n 可以分成數個較小的正整數，即n = n₁ + n₂ + ⋯ + nk，k ＞ 1，n₁, n₂, … , nk皆為小於n的 正整數，則稱(n₁, n₂, … , nk)是n 的一個分解。現令是n的分解中乘積最大的那一個數，求 =？ (舉例來說，3 = 1+1+1 = 2 +1，因為2✕1>1✕1✕1，所以a₃ = 2 。 4 = 1+1+1+1 = 2 +1+1 = 3+1 =2 + 2，所以a₄ = 4。)

16. 如下圖，在△ABC中，，取邊上的兩點D 、 E ， 使得= 7，∠ACD=∠BCE，求的長為？

(1)試用R 、 r來表示。(8 分)

(2)試求比值=？(4 分)