109年 - 109 新北市立高級中等學校教師聯合甄選：數學科#87479

科目：教甄◆數學專業 | 年份：109年 | 選擇題數：0 | 申論題數：13

試卷資訊

所屬科目：教甄◆數學專業

選擇題 (0)

申論題 (13)

1. 某一燈塔裝置了紅、黃、藍、綠、紫五種不同顏色的燈，每晚會點亮其中一種燈，且每一晚都是從前一晚未點過的四種燈中隨機點亮一種。設第 1 晚點亮紅色燈，則第 6 晚也點亮紅色燈的機率為__________ （以最簡分數表示）。

2. 設集合 A = {1, 2, 3, · · · , 102} 共 102 個數，B、C 為另 2 個集合，滿足 B ∪ C = A，則這樣的 (B, C) 共有 _______組

3. 一模型公司在一個內部邊長為 2 單位的透明正立方體箱子內放置一顆半徑為 1 單位的黃球，然後又在箱子的八個角落再塞入 8 顆半徑相同的小紅球，如下圖所示：試求：小紅球的最大半徑為_______ 單位

4. 設 a、b 為正整數，若 a ²⁰ 為 31 位數，( )²⁰ 自小數點以下 25 位才不為 0，則 (ab) ⁵是_______ 位數

5. 將 10 個相同的小球裝入 3 個編號為 1、2、3 的盒子 (每次要把 10 個球裝完)，要求每個盒子裡球的個數不少於盒子的編號數，這樣的裝法種數共有_________種。

6. 設 Q₁、Q₂ 為以原點 O(0, 0) 為圓心的單位圓和 x 軸的兩交點。若上半圓上兩點 P₁ 和 P₂ 滿足 ∠P₁OP₂= 45◦，則 △P₁OQ₁ 和 △P₂OQ₂面積和的最大值為 _________。

7. 點 P 到一單位圓圓心距離為 3，P 到該單位圓內接正三角形三頂點距離分別為 a， b，c，則 a ² + b² + c ²為一定數，此定數為________

8. 將多項式 (1 + x ⁵ + x ⁷ + x ¹²) ²⁰ 展開，則 x¹⁷的係數為 _______。

9. 級數之和為有理數，此有理數最簡分數為_________ 。

10. xy-平面上能滿足不等式： |x ² + y ² − 2x + 4y − 18| ≤ 2x − 2y + 18 之所有點所成的集合為S，則S的面積為__________

二、計算證明題：30%，每題 15 分。

1. 將長 = 240，寬 = 288 的長方形紙張對摺，讓頂點 C 剛好落在線段的中點 M 上，如下圖所示:

若是摺線，則摺線的長度為多少？

(a)

(b)