112年 - 112-1 臺北市立大直高級中學_專任教師甄選試題：高中數學科#115084

1. 已知a,b,c,d為正數，且滿足a+3b=1 以及3c+d=1 ，則的最小值為__________。

2. 已知兩數列定義如下：且，則=_________ 。

3. 不等式|x|+|y|+|x-y|≤10 的解集合，在坐標平面上對應的區域面積為____________。

4. 教室裡有左右兩塊黑板，在左邊黑板上寫下數字 100 並進行以下操作：
(1) 每次把左邊黑板上一個大於 1 的正整數k擦掉，並換成兩個較小的正整數a 、b，使得a+b=k。
(2) 把乘積a✕b寫在右邊黑板上。
重複這樣的操作，直到左邊黑板上的數字全都是 1 則停止操作。
此時，左邊黑板上共有x個數字 1，右邊黑板的數字總和最大值為y ，則數對(x,y)為___________。

5. 甲乙兩人猜拳。假設每次甲猜贏的機率為 、猜輸的機率為 、平手的機率為。 若規定每回合必須猜到有人猜贏為止，先連續贏兩回合者獲勝，則甲獲勝的機率為___________。

6. 若四邊形 ABCD 中， ， 則四邊形 ABCD 的內切圓面積最大值為________________。

7. 空間中有兩條歪斜線 L 與 S，直線 L 上有三點 A、B、C，且 。直線 S 上有三點 D、E、F，其中皆垂直 L。已知，則歪斜線 L、S 的距離為_______________。

8. 如下圖，ABCD 為正方形，直線 BF 平行直線 AC，E 在 BF 上使得 AEFC 為菱形。若 G 為菱形對角線交點，則tan∠CBG=________________。

9. 已知 H 為△ABC 的垂心。若，則cos A =__________ 。

10. 已知 F 為橢圓在下半平面的焦點，C 為Γ的最大內切圓。在橢圓Γ上取一點 P， 且 P 在上半平面，過 P 點對圓 C 作切線，令切點為 Q，則=_________。

11. 一個由多項式函數y=f(x)與函數y=mx+n、 x = 0、 x=a(0≤ a ≤k) 所圍出的封閉區域，其面積函數為A(a)=- a³+7a²+5a，如下圖。已知P(0,17), Q分別為x = 0與 、y=mx+n的交點；R (k,22)為y=f(x)與y=mx+n的交點，則多項式f(x)=_______________。

(1) 若∠B=60°，請證明：。(7 分)

(2) 若，請證明：∠B=60°。(7 分)