113年 - 113 高雄市市立高級中等學校聯合教師甄選試題：數學科#120032

1. 雙曲線y²-4x²=1圖形的上半部 (如圖一)，此雙曲線上x坐標為n 的點與漸近線y = 2x的距離，記為，其中n為正整數。則＝_______

2. 實係數方程式3x³+ax²+bx−2=0 有一實根α，與兩虛根β、β²+1，求數對(a,b)=_______

4.，求x =_______

5. 坐標平面上兩點A(-5, 4)，B(6, 9) ，O為原點，在射線上各取一點 C，D，使△OAB面積與△OCD面積相等，且線段平行x軸，求線段長為_______

6. 設m為實數，已知直線x + my = 0過定點 A，另一直線mx − y − m + 3 = 0 過定點 B，兩直線交於點P(x, y)，則線段乘積的最大值為_______

7. 將橢圓：x²+2y²=1以原點 O 為中心，依逆時針方向旋轉60°，可得橢圓，試問的方程式_______

8.(S ∈ R) 設 P(t, −t, −3t) 在 L₁上，Q、R 為L₂的兩相異點，當 ∆PQR為正三角形時，試以 t 表示∆PQR的面積 =_______

9. 若= (−2,2,1), = (1,3,2), = (−2,3,1) ,則當有最小值時，(s , t) =_______

10. 一座標平面上，O 為原點，點A₁、 A₂在正向 x 軸上，點B₁、B₂在正向 y 軸上，= 26 ，∠B₂A₂O=2∠B₁A₁O，且△B₂A₂O的面積為 120，則△B₁A₁O的面積為多少_______

11. 將表示式展開並合併同類項,試問化簡後共有多少項_______

12. 設a，b皆表實數，且滿足sin a+sin b=，cos a+cos b + =，則sin(a+b)之值為多少_______

13. 在∆ABC中，，分別在三邊上分別各取一點D，E，F，使得∆DEF為正三角形。設∠FEC = θ，當sinθ為多少時，∆DEF周長最短_______

14. 若連續自然數的數列a₁，a₂，⋯，，⋯滿足= log n，則當此數列有最多項數為 m 項時，此自然數數列和Sm是多少_______

15. 設複數 z 滿足主幅角Arg(z + 3) =，則的最大值是_______

16. 箱中有編號 1 號到 7 號的 7 顆大小相同的球，每次從箱中任取出一球，再放回箱中，重複取球 n 次，並記錄這 n 次取球的數字總和為，假設除以 3 餘 1 的機率為，試求出(以 n 表示) _______