114年 - 114-1 臺北市立第一女子高級中學_正式教師甄選試題：數學科#126313

1. 已知 [ ] x 為不大於 x 之最大整數，若= 2000  ，則 n =_____ 。

2. 坐標平面上 O(0,0)、 A a( ,20)、 B b( ,25)為一個正三角形的三個頂點，則ab =_____ 。

3. 小綠投擲兩個公正的骰子，其中一個骰子 A 是正六面體，點數分別為 2,3,4,5,6,7； 另外一個骰子 B 是正八面體，點數分別為 2,3,4,5,6,7,8,9。記錄骰子 A 的點數為 a， 骰子 B 的點數為 b，若第 X 次投擲時，首次滿足為正整數，則 X 的期望值為_____ 。

4. 正四面體 ABCD 的稜長為 5，現分別在 上各取一點 P、Q、R。 若 = 2，且與平面 PQR 垂直，則五面體 PQR-BCD 的體積為_____ 。

5. 設 ，則 =_____ 。

6. 阿綠冒險時得到兩個尚未開啟的神奇寶箱，這些寶箱機緣到了，就會自動開啟， 否則就會維持關閉狀態；而寶箱一旦開啟，就會一直維持開啟狀態。 已知對每一個寶箱而言，如果今天沒有開啟，則隔天會開啟的機率為 。 若在阿綠得到寶箱的 X 天之後，首次出現兩個寶箱都是開啟狀態，則 X 的期望值為_____ 。 (註：阿綠得到寶箱的那一天，寶箱不會開啟。)

7. 已知梯形 ABCD 內接於一圓，其中 。過 D 點作圓的切線交直線 AC 於 E 點， 若，且，則 =_____。

8. 已知 a 為正整數，若方程式 (z²-2z+5)(z²-2az+1)=0有四個兩兩相異的根， 且它們在複數平面上對應的四個點恰好共圓，則a =_____ 。