將6件不同的禮物分給甲、乙、丙、丁四人，甲、乙、丙、丁都至少得1件禮物，有幾種可能的分法？
(A)240
(B)1560
(C)5760
(D)7200

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統計： A(64), B(191), C(103), D(43), E(1) #45662

詳解 (共 3 筆)

#216470

四個人分六個禮物且每人至少要有一個的話

先不管分給誰，則禮物有2種分法

1.  (2,2,1,1)   2.  (3,1,1,1)

接著考慮不同禮物的分法與不同人的分法

首先看不同禮物分法1. C(6,2)*C(4,2)*C(2,1)*C(1,1)=180

                                    2. C(6,3)*C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)=120

再來把人固定(甲,乙,丙,丁) 則

在1中 分法有4！/(2！*2！)=6種

[如(2,2,1,1)  (2,1,2,1)  (2,1,1,2)  (1,2,1,2)  (1,1,2,2)  (1,2,2,1)]

在2中 分法有4！/3！=4種

[如(3,1,1,1)  (1,3,1,1)  (1,1,3,1)  (1,1,1,3)]

所以全部分法有180*6+120*4=1560種 

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#181355
每件禮物的任意分的分法有4種(因為有4個人)
所以6件禮物的任意分的分法有4*4*4*4*4*4 = 4^6種
(P.S.: 由此可看出(C)和(D)不可能是答案，因為分法一定少於4^6 = 4096)

再扣掉不合的情形：
(1) 至少有一人沒分到禮物的分法：
甲沒分到禮物，其他人任意分的分法
= 乙沒分到禮物，其他人任意分的分法
= 丙沒分到禮物，其他人任意分的分法
= 丁沒分到禮物，其他人任意分的分法
= 3^6 種
共4 * (3^6) 種

把(1)中重複扣的加回來：
(2) 至少有兩人沒分到禮物的分法：
甲、乙沒分到禮物，其他人任意分的分法
= 甲、丙沒分到禮物，其他人任意分的分法
= 甲、丁沒分
到禮物，其他人任意分的分法
= 乙、丙沒分到禮物，其他人任意分的分法

= 乙、丁沒分
到禮物，其他人任意分的分法

= 丙、丁沒分
到禮物，其他人任意分的分法

= 2^6 種
共6 * (2^6) 種

把(2)中重複加的扣掉：
(3) 至少有三人沒分到禮物的分法：
甲、乙、丙沒分到禮物，其他人任意分的分法

= 甲、乙、丁沒分到禮物，其他人任意分的分法

= 甲、丙、丁沒分到禮物，其他人任意分的分法
= 乙、丙、丁沒分到禮物，其他人任意分的分法
= 1^6 種
共4 * (1^6) 種

∴全部的分法 = 4^6 - 4 * (3^6) + 6 * (2^6) - 4 * (1^6) = 1560 種
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#26828
4^6-C(4,1)*3^6+C(4,2)*2^6-C(4,1)*1
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