阿摩線上測驗
48. 營養師想要安排學校下週星期一至星期五的午餐規畫，他列出義大利麵、大滷麵、咖哩飯和排骨飯等四種餐點。營養師想要依據下列 兩項原則安排午餐： 甲、每天只選一種餐點，但五天中每一種餐點至少各點一次。 乙、連續兩天的餐點不可重複且不可連續兩天吃麵食。 請問營養師共有幾種午餐規畫的安排？
(A) 52
(B) 60
(C) 76
(D) 84
(A) 52
(B) 60
(C) 76
(D) 84
統計： A(277), B(630), C(452), D(261), E(0) #2953841
詳解 (共 9 筆)
窮舉法:
從做嚴苛條件下手
不可連續兩天吃義大利麵、大滷麵延伸幾種可能:
1.星期一三五 吃麵=>2C32X 2!=12
ooooo 紅色為麵，藍色為飯，因一三五吃麵，故二四只能吃飯
2.星期一三 或 三五 吃義大利麵、大滷麵=>2 X 2! X 2! X 2=16
ooooo 因為連在一起的兩藍必須不同的飯故2!
ooooo 綠色2種飯可選故X2
3.星期一五吃義大利麵、大滷麵=>2! X 2 X 1=4
ooooo 綠色部分因同種飯不能相連，所以沒得選(中間只有121或212)
4.星期一四 或 二五吃義大利麵、大滷麵=>2 X 2! X 2! X 2=16
ooooo 因為連在一起的兩藍必須不同的飯故2!
ooooo 綠色2種飯可選故X2
5.星期二四吃義大利麵、大滷麵=>2 !X2C32=12
ooooo 紅色為麵，藍色為飯
12+16+4+16+12=60
窮舉法
我們先將餐點分類：
-
麵食 (N)： 義大利麵 (I)、大滷麵 (B)。
-
飯食 (R)： 咖哩飯 (C)、排骨飯 (P)。
題目條件分析
-
五天四種餐點，每種至少一次：這代表 5 天中，有 3 種餐點出現 1 次，有 1 種餐點會出現 2 次。
-
連續兩天不可重複：若某餐點出現兩次，這兩次不能相鄰。
-
不可連續兩天吃麵食：任何兩天麵食（I 或 B）都不能相鄰（不能出現 II, BB, IB, BI）。
我們依照「哪一種餐點重複」分為兩大類來討論：
第一類：重複的是「飯食」（C 或 P 重複）
假設重複的是 咖哩飯 (C)，則餐點組合為：$\{C, C, P, I, B\}$。
-
總排列數：$\frac{5!}{2!} = 60$ 種。
-
扣除不合條件的情況（利用排容原理）：
-
條件 $X$：$C, C$ 相鄰。將 $(CC)$ 看作一體，排列數為 $4! = 24$。
-
條件 $Y$：麵食 $(I, B)$ 相鄰。將 $(IB)$ 或 $(BI)$ 看作一體，排列數為 $\frac{4!}{2!} \times 2 = 24$。
-
交集 $X \cap Y$：$CC$ 相鄰且 $IB$（或 $BI$）也相鄰。將 $(CC)$ 與 $(IB)$ 看作單位，排列數為 $3! \times 2 = 12$。
-
符合條件數：$60 - (24 + 24 - 12) = \mathbf{24}$ 種。
因為重複的飯食可以是「咖哩飯」或「排骨飯」兩種，所以：
第二類：重複的是「麵食」（I 或 B 重複）
假設重複的是 義大利麵 (I)，則餐點組合為：$\{I, I, B, P, C\}$。
這裡有 3 份麵食 ($I, I, B$) 和 2 份飯食 ($P, C$)。
-
限制條件：因為不能連續兩天吃麵食，這 3 份麵食必須被 2 份飯食完全隔開。
-
唯一排列結構：一定是 「麵－飯－麵－飯－麵」。
-
麵食的排列：在第 1, 3, 5 天填入 $\{I, I, B\}$，排列數為 $\frac{3!}{2!} = 3$ 種。
-
飯食的排列：在第 2, 4 天填入 $\{P, C\}$，排列數為 $2! = 2$ 種。
-
符合條件數：$3 \times 2 = \mathbf{6}$ 種。
因為重複的麵食可以是「義大利麵」或「大滷麵」兩種，所以：
最終結算
將兩類情況相加：
答案：
營養師共有 $60$ 種 午餐規畫的安排。
