105年 - 105年臺南二中教甄數學試卷﹝105年度#51735

科目：教甄◆數學專業 | 年份：105年 | 選擇題數：2 | 申論題數：17

試卷資訊

所屬科目：教甄◆數學專業

選擇題 (2)

複選題
1.設

，其中 n 為正整數，試問下列哪些選項是正確的﹖(A)滿足 z^k ＞0 的最小正整數 k 之值為 6 (B) a₁ =

(C) a₆＞1/64(D)＜a_n＞為等比數列，公比是 1/2 (E)

＜1

複選題
2.已知三次函數 f ( x) 在x = - 1處有極大值2﹐且

﹒試問下列哪些選項是正確的﹖ (A) f (3) 2 = - (B) f '(3) =0 (C)方程式 f (x )= 0 恰有三相異實根 (D) f ( x) 的反曲點為(1,0) (E) f ( x) 在 x = 1處附近的圖形凹口向下

申論題 (17)

1.考慮曲線 y= log₂x 和 y = log ₃x，以及直線 x = 2¹⁰ 所圍成的區域 ( 包含邊界 ) ，求該區域中所包含的格子點的個數為 _____。

【已刪除】2. m

= m (x-2)+2 恰有二實根，求 m 之範圍為 _____。

【已刪除】3.設

，則 x y z =_____ 。

【已刪除】4.若

，n 是正整數，並設 Sn 表示〈 bn 〉的前 n 項和，則使得

的最小正整數 n 為_____ 。

5.設 a、b 為正數，若 a ²⁰的整數部分是 32 位數， b^-30 的小數點後第 60 位始不為 0，求 (ab)¹⁰ 的整數部分是幾位數？_______

【已刪除】6.設平面上三向量

上的正射影長為_________。

7.設有一 3 ✖3 單位正方形所成的方格 ( 由 9 個邊長為 1 的正方形所構成的大正方形 ) ，每一個單位正方形都要塗上藍色或紅色，兩種顏色被使用的機率都相等，若 3 ✖3 單位正方形所成的方格中，沒有任何一個 2✖ 2 單位正方形所成的方格為紅色的機率為_____ 。

【已刪除】8.已知三次函數 y＝f（x＋2）的圖形如右圖，則不等式（x－3）f（x）＜0 的解為_____ 。

【已刪除】9.右圖是空間坐標中的一個長方體，已知

P，Q 分別為長方體

上的中點， R 為邊

上一點，若

相交於一點，試求

【已刪除】10.設橢圓Γ：

上有一點 P 位於第一象限，兩焦點為 F₁ 與 F₂，若△PF₁F₂ 的內切圓半徑為 1，則 P 點的坐標為_____ 。

【已刪除】11.函數 y=

的部分圖形如圖所示﹒已知 P 為圖形的最高點﹐ A﹐ B 為圖形與 x 軸的交點﹐求 tan∠APB= ________。

(1)∣z－8∣＝6，

(2)∣z＋1∣＝∣z－i∣，求∣z1－z2∣＝_____ 。

【已刪除】三、計算證明題（占 30 分）(需將演算過程寫在答案卷上，並註明題號)
1. 如右圖，△ABC 中，

上一點，且

平分∠CAB，
若 P 為

於 F，
G 為△ABC 之重心，而

則數對（x，y）為何？(7 分)

【已刪除】2.

為何？(7 分)

3.甲、乙兩人以「剪刀、石頭、布」猜拳 5 次，兩人的策略都是：如果這一次出拳猜贏，下一次出相同的拳；如果這一次出拳猜輸，下一次從另外兩拳擇一出拳，兩拳的選擇機率相同；如果這一次出拳平手，下一次從「剪刀、石頭、布」擇一出拳，且選擇的機率相同。若第一次甲猜贏，求第四次兩人平手的機率？(8 分)

【已刪除】4. 一張紙上面有半徑為 R 的圓 O 和圓內一定點 A，且

=a ，摺疊紙片使圓周上某一點 A' 剛好與 A 重合，這樣每一種折法都留下一條直線摺痕，當 A' 取遍圓周上所有點時，則所有摺痕所在的直線上的點所成的圖形為何？並證明之。(8 分)