110年 - 110 教育部受託辦理公立高級中等學校教師甄選：數學科#99882

1. 設有一種檢驗新冠肺炎的儀器，依據過去的經驗得知：罹患此病的人，有90%的機率 經此儀器檢驗會呈現陽性反應（感染此傳染病） ；不患此病的人，也有6%的機率會被 誤檢而呈現陽性反應。已知某一地區的居民接受此儀器的檢驗後，呈現陽性反應者， 最後證實有 的比例是沒有感染此傳染病的，則該地區居民罹患此傳染病的百分比為何？ (A)8% (B)12% (C)17% (D)23%。

3. 方程式| cos x |+ cos x - log₄ x = 0 有幾個實數解？ (A)3 (B)4 (C)5 (D)6。

4. 設矩陣A=  ，則 為下列何者？ (A) (B) (C) O₂ (D) 4I₂

5. 已知點 P 為邊長為√2的正四面體 ABCD 內的任意一點， P 到四個面的距離分別為 d₁ 、 d ₂ 、 d ₃ 、 d ₄ ，則 的最小值為何？
(A)
(B)
(C)
(D)

6. 如圖，已知正四面體 ABCD 中， 。 設向量與向量的夾角為 Θ ，求 sin Θ 的值為何？
(A) (B) (C) (D)

7. 一個幾何體的三視圖如圖所示：側視圖是一個邊長為 1 的正三角形，俯視圖是兩個正三角形拼成 的菱形，試問這個幾何體的體積為何？
(A) (B) (C) (D)

8. 如圖，東西方向有四條道路，南北方向有五條道路。已 知在交叉點處，往東或往北走的機率相同；若只能往一 個方向走時，機率則為 1 。從 A 點出發沿著道路走捷徑 至 C 點，中途不經過 P 點的機率為何？
   (A) (B) (C) (D)

9. 已知向量 (a₁ , b₁ , c₁ ) 、 (a₂ , b₂ , c₂ ) 不平行，且方程組 有一組解(1,2,3)；而方程組有一組解(3,2,1)，則下列哪些選項亦為方 程組Γ' 的解？ (A) (0, 0, 0) (B) (4, 4, 4) (C) (2, 0, - 2) (D) (10,16, 22)

11. 某班的數學定期考因成績太低，老師決定依據線性函數分數加分，加分後每位同學從分提高至分，其中關係式為，且 a, b > 0；結果老師發現調整後的成績 D 仍偏低，決定進行第二次線性調分，經過調分後每位同學從分調整為分，其中的 關係式為 。經過兩次調整後，全班每位同學的分數都比原始成績還要高， 而且最高分調整為 100 分。已知小華從原來的 12 分經過兩次調整後提高至 48 分，而 小明從原來的 28 分經過第一次調整後的分數為 55 分。依照上述條件，下列哪些選項 敘述為真？ (A)的標準差與的標準差相等 (B)小華第一次調整後的分數為 36 分 (C) ab = 25 (D)全班最高分的同學，第一次調分所得的分數與第二次調分所得的 分數是相同的。

12. 設 為一正立方體的四個頂點，則下列的哪 D 些點也為此正立方體的頂點？ (A)(B)(C) (D)

一、填充題
1.若有兩個相異實根，試求實數 m 的範圍。

2.試求所有滿足的自然數 n 的總和。

3.設 [x]代表不超過 x 的最大整數，求之值。

4.有邊長為 10 的正方形 ABCD。設的中點 M，A 關於 的對稱點為 E 時，則 △BCE 的面積為______平方單位。

5.如下圖四個相同正方形連接而成，則之值為____。

6. z是複數，且,則 z=______。

7.已知集合，則當實數 m=_______時，有三個元素。

9.已知 [x]為高斯符號，表示不超過 x 的最大整數。求方程式的整數解 x =_____。

二、證明題（每題8分，共24分）
1.設 a,b,c分別表 △ABC 之 ∠A、∠B 和 ∠C 的對邊長， ∠B=60°，證明：=3 。

2.複數 z 和 w 滿足 zw-2iz-iw-5=0， | z | =2。證明：| w-i | = 2。

3.證明：