33. 已知x ⁴－x ³＋ax ²＋7x＋b＝0，其中 a ,  b R 。若有一根為 1＋2 i ，則a＋b之值為何？
(A) －3
(B) －1
(C) 1
(D) 3

Point：高中數學第一冊
1.共軛虛根必成對存在：若有一根為 1＋2i ，必有另一根 1-2i 。
2.四次方程式必有四根，可因式分解成(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0 或(x²+ax+b)(x-c)(x-d)=0

解題
Step 1：
若有一根為 1＋2i ，必有另一根 1-2i 。
得x=1±2i，移向後得到➡ x-1=±2i 同平方➡ (x-1)²=(2i)²
展開後得➡ x²-2x+1=-4 整理後得➡ x²-2x+5=0

Step 2：
四次方程式必有四根，可因式分解成(x²+ax+b)(x-c)(x-d)=0
➡ x ⁴－x ³＋ax ²＋7x＋b＝0 可因式分解成(x²-2x+5)(x-c)(x-d)=0
利用長除法➡

                   x ²＋   x       -1                  
      x²-2x+5 ) x ⁴－ x ³＋ ax²＋7x＋b
                    x ⁴－2x ³＋5x²
                                     x ³+(a-5)x²+7x
                                     x ³ -    2x²+5x
                                              (a-3)x²+2x＋b
                                                   -x²+2x -5
                                                                       0

（因為要將方程式整除，故由2x下手）

Step 3：
(a-3)-(-1)=0 ➡ a=2
b-(-5)=0 ➡ b=-5
得a+b=2-5=-3