所屬科目：中山◆電機◆電磁學
1. 請問函數 f(t) = e-lti, t∈(-∞,∞) 的 Fourier transform 為何? (A) 2/(1 + ω²) (B) te-lωt (C) 2cos(ω) (D) 1/(1 + jω) (E) 1/(1 - jω)
2. 已知 f(t) = { 1 t∈[-1,1] { 0 t∈(-∞,-1)∪(1,∞) 的 Fourier transform 為 2sin(ω)/ω。 請問函數 y(t) = ∫t＜sub＞-∞＜/sub＞e-|t-τ|dτ, t∈(-∞,∞) 的 Fourier transform 為何? (A) 2sin(2ω)/ω (B) 4sin(ω)/(ω + ω³) (C) (D) e-lωl/2 (E) e-lωl/(1 + ω²)
3. 定義 Del 操作子為∇ := i + j + k。請問以下敘述何者為錯誤。 (A) ∇×(∇φ) = 0, 其中 φ 為具有連續一二偏階導函數的純量場。 (B) ∇ ⋅ (∇×F) = 0, 其中 F 為具有連續一二偏階導函數的向量場。 (C) ∇ ⋅ (F×G) = G ⋅ (∇×F) - F ⋅ (∇×G), 其中 F 與 G 為兩個連續平滑的向量場。 (D) ∇ ⋅ (φF) = ∇φ ⋅ F + φ(∇ ⋅ F), 其中 φ 為一連續平滑的純量場而 F 為一連續平滑的向量場。 (E) 以上(a) (b) (c) (d) 敘述皆錯誤。
4. 請問閉環積分 ∮＜sub＞c＜/sub＞x²ydx - xy²dy 之值為何, 其中 C 為一沿著以下區域邊界之逆時針路徑: x² + y² ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0. (A) -π (B) √2π (C) -2π (D) 3π (E) -2√3π
5. 考慮微分方程式 ẍ(t) + ẋ(t) + (1 - x(t)²)x(t) = 0。請問以下敘述何者為正確。 (A) (x, ẋ) = (0, 0) 為一區域穩定平衡點。 (B) 該微方程式有兩個平衡點。 (C) 無論 (x, ẋ) 之初值為何, 方程式的解皆不發散。 (D) 若把方程式的初值乘以 2, 所得之新解為初值未放大前之解乘以 2。 (E) 以上(a) (b) (c) (d) 敘述皆錯誤。
6. 以下關於 Laplace transform (記為: L(⋅)) 的敘述, 何者為錯誤。 (A) 滿足 L(f) + L(g) = L(f + g)。 (B) 其逆轉換 L-1(⋅) 亦滿足 L-1(f) + L-1(g) = L-1(f + g)。 (C) 若 f, g 為連續函數, 且 L(f) = L(g), 則 f = g。 (D) 以上(a) (b) (c) 敘述皆正確。 (E) 以上(a) (b) (c) (d) 敘述皆錯誤。
7. 以下關於 Laplace transform (記為: L(⋅)) 的敘述, 何者為正確。 (A) L(t³) = 1/s³. (B) 若 a ＞ 0 且 L-1(F(s)) = f(t), 則 L-1(e-asF(s)) = f(t - a)u(t - a), 其中 u(t) 滿足 u(t) = 1, ∀t ≥ 0, u(t) = 0, ∀t ＜ 0。 (C) 若 f(0) = 0, 則 L(f̈) = s²L(f)。 (D) L-1(F(s - a)) = eatL-1(F(s)) (E) 以上(a) (b) (c) (d) 敘述皆正確。 下面第 8 至 12 題所考慮的微分方程式為 $\ddot{z}(t) + a1 \dot{z}(t) + a0 z(t) + \alpha z(t)^3 = u(t)$。
8. 假設 $a1 = a0 = \alpha = 1$, $u(t) = 0$, $\forall t$。請問以下敘述何者為正確。 (A) 令 $z(t)$ 的 Laplace transform 為 $Z(s)$。則 $Z(s)$ 滿足 $s^2 Z(s) + sZ(s) + Z(s) + Z(s)^3 = 0$. (B) 該微方程式有三個平衡點。 (C) 對於某些非零的 $(\dot{z}, z)$ 初值, 方程式的解會發散。 (D) 該方程式任何兩組初值的解都會滿足疊加原理。 (E) 以上 (a) (b) (c) (d) 敘述皆錯誤。
9. 假設 $a1 ＞ 0$, $a0 ＜ 0$, $\alpha = 0$, $u(t) = 0$, $\forall t$。請問以下敘述何者錯誤。 (A) 該方程式為線性方程式。 (B) 對於某些非零的 $(\dot{z}, z)$ 初值, 方程式的解會發散。 (C) 其特徵方程式的解都是負實數。 (D) 對於某些非零的 $(\dot{z}, z)$ 初值, 方程式的解會收斂到零。 (E) 若初值為零, 則 $z(t) = 0$, $\forall t$。
10. 假設 $a1 = 0$, $a0 ＞ 0$, $\alpha = 0$, $u(t) = 0$, $\forall t$。請問以下敘述何者正確。 (A) 對於任何 $(\dot{z}, z)$ 初值, 方程式的解都會收斂到零。 (B) 對於任何 $(\dot{z}, z)$ 初值, 方程式的解都會發散。 (C) 對於某些非零的 $(\dot{z}, z)$ 初值, 方程式的解收斂到零。 (D) 對於任何 $(\dot{z}, z)$ 初值, 方程式的解都不會發散。 (E) 對於某些非零的 $(\dot{z}, z)$ 初值, 方程式的解會發散。
11. 假設 $a1 ＞ 0$, $a0 ＞ 0$, $\alpha = 0$, $u(t) = 0$, $\forall t$。請問以下敘述何者錯誤。 (A) 對於任何 $(\dot{z}, z)$ 初值, 方程式的解都會收斂到零。 (B) 對於某些非零的 $(\dot{z}, z)$ 初值, 方程式的解會發散。 (C) 若 $a1^2 - 4a0 ＞ 0$, 則所有方程式的解都沒有震盪現象。 (D) 若 $a1^2 - 4a0 ＜ 0$, 則所有方程式的解都會有震盪現象。 (E) 若 $a1^2 - 4a0 = 0$, 則方程式的解之收斂速度會隨 $|a_1|$ 增大而變快。
12. 假設 $a1 ＞ 0$, $a0 ＞ 0$, $\alpha = 0$, $u(t) = \sin(\omega t)$, 且 $(\dot{z}, z)$ 初值為零。請問以下敘述何者正確。 (A) 方程式的解會收斂到零。 (B) 方程式的解會發散。 (C) 方程式之解的振幅大小不會隨 $\omega$ 而變化。 (D) 方程式的解會趨近一頻率為 $\omega$ 的旋波。 (E) 以上 (a) (b) (c) (d) 敘述都錯誤。
第 13 題為計算題, 有三個小題, 總共 14 分(a) (2 分) 令 $u(t) = 0$。找出所有讓方程式之解為零的 $(\dot{y}, y)$ 初值。
(b) 將上述方程式就 $(\dot{y}(0), y(0)) = (0, 0)$ 與 $(\dot{y}(0), y(0)) = (0, \pi)$ 這兩組初值線性化, 找出線 性化後的微分方程式並討論這兩組方程式之解的收斂性。
(c) 考慮上題中初值為 $(\dot{y}(0), y(0)) = (0, 0)$ 之線性化微分方程式。若該方程式的輸入項為 $u(t) = \begin{cases} 1 & t \in [1, 2] \\ 0 & t \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty) \end{cases}$ 且初值為零, 請問方程式之解為何。需詳列計算過程。
第 14 至 17 題中所有的提問, 都不需要寫出推導過程, 只要寫出答案即可, 答案正確就得分。(a) If $\mathbf{a}1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ and $\mathbf{a}4 = \begin{bmatrix} 0 \\ -4 \\ 4 \end{bmatrix}$, find $\mathbf{a}2$ and $\mathbf{a}3$.
(b) Let $\mathbf{z} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ y \end{bmatrix} \in R(A)$. Find all possible values of $y$ such that the distance (in 2-norm) between $\mathbf{z}$ and $N(A)$ is $\sqrt{6}$.
(c) If $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ solves $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, find the solution to $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ that has the smallest 2-norm.
(a) Describe $S^{\perp}$ as the span of a set of its basis composed of some monic polynomials, i.e. polynomials with 1 as the coefficient of their highest degrees.
(b) Describe $(S^{\perp})^{\perp}$.
(c) What is the orthogonal projection of $p(t) := t^2 - t + 1$ onto the subspace $(S^{\perp})^{\perp}$?
(a) Let's denote the complex number $(-1+i)^i$ as $\exp(a+ib)$ with $a, b \in \mathbb{R}$. What are $a$ and $b$?
(b) Since $f(z)$ is a multiple-valued function, let's consider the branch $|z| ＞ 0$ and $0 ＜ \arg z ＜ 2\pi$. When denoting $M := (-1+i)^i$, please use $M$ to express $\int_C f(z) dz$.
(a) Compute $\int_0^{\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$.
(b) Compute $\int_0^{\infty} \frac{\ln x}{(x^2+1)^2} dx$.
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