109年 - 109 教育部受託辦理公立高級中等學校教師甄選：數學科#86798

1. 等差數列前n項和 S _n 的最大值為 S ₇ ，且 ，則使 S_n >O 的n最大值為(A)12 (B)13 (C)14 (D)15。

3. 設多項式函數 f (x)  的定義域包含區間[ a ，b] ，且在[ a ，b]  內 f (x)≥ 0 恆成立，n 為任意 自然數，將區間[ a ，b]  平分成 n 等分，則 f (x) 在區間[ a ，b]  上的黎曼和。設 y= f(x)  、x 軸、直線 x = a 與 x = b 所圍成區域的面 積為 A，則下列敘述何者錯誤？ (A) R_n 是 n 個矩形面積的和 (B)(C)對任意正整數 n 而言， A > R_n (D)若 f ( x)  在區間[ a ，b] 上為遞增，則 R 2<R4 。

4. 如圖，三個兩兩外切的圓，也都與直線相切，最大圓半徑為 100，中圓的半徑為 25， 求最小圓的半徑為何？

 (A) (B) (C) (D)

 5. 已知k是實數，兩複數，集合 ， ，若 AB 是空集合，則k值可能為何？ (A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2。

6. 設 ， ，若 ，則 = (A) (B) (C)(D) 。

7. 求 與所圍區域的面積為 (A)(B)(C) (D) 。 

8. 如圖，長方形 ABCD中， = 2， =1， E 為 的中點， F 為上一點。若 ∠EFC= ∠DCF ，則tan = (∠AFE) ？ (A) (B) (C) (D)。 

9. 關於二階方陣 A= ，  B= ，C= ，D= 。請選 出正確的選項。 (A) A⁹¹= A ⁷¹ (B) B⁹¹= B ⁷¹   (C)   C⁹¹ =C⁷¹ (D)B⁵D³= D³B⁵  。

10. 下列敘述哪些是正確的？ (A)以8種不同色之顏料，塗在正四面體（可任意移動， 翻轉）之立體表面，共 420 種塗法 (B)方程式 的整數解共1298組 (C)袋中共有 6 個白球、4 個紅球、3 個黑球，今任取 3 球，恰得兩種顏色球之機率為 (D)從一副52張的撲克牌中任意抽出三張，此三張中至少有兩張字母相同者 （如 KK5,777）之機率為 。

11. 設，則下列選項何者正確？ (A) a = -50 (B) b =1175 (C)b = -1225 (D) a+b+c =1226。

12. 設擲某銅板出現正面的機率為 p ，。連續擲此銅板 4 次，若第 k 次出現正面 則得 ，否則得 0，k =1,2,3,4。設總所得的期望值為 a，總所得超過1 3 的機率為 b ，則 (A) a 為 p 的一次多項式 (B)(C)b 為 p 的二次多項式 (D)。

1.解 得 x =_________

2.如圖，△ABC 中，∠ C= 90° 且= =  ，已知 ，則 ＝_______

3.方程式有2相異實根，求m 的範圍_______

4.如圖，四邊形 ABCD 中，= 、 = 、= 6、= ，∠ ABC =90° ，則 ＝___________

5.若 ，求數對

(a，b)=_____________

6.方程式sin x= 3cos x=k  ，在的範圍內，有兩個相異的實數解，求實數 k 的範圍為__________

8.如圖，於△ABC 中，P、Q 為 的三等分點(即 == )，且 D 為的中點，若 與 、 分別相交於 E、F，則=__________

二、計算題（每題 8 分，共 24 分） 1.設方程式之三根為α 、β 、 γ，試求以 、 、 為三根之三次方程 式。

2.將偶數數列 排列為以下陣列，第i列第 j 行為a ij  ,例如，  a₃₂=  18，試求一般項 α_ij

3.如圖，有一個底半徑為 5 公分的圓柱體，被一個通過直徑 AB 且與底面夾45° 角的平面所截，試 求所截出的立體體積。