113年 - 113 臺南市市立國民中學_正式教師聯合甄選試題：數學專門科目#120972

3. 王老師利用「做活動，學數學」。規則如下：
規則 1：每次一位同學到黑板寫出一個二位數，且這個二位數是從 1, 3, 7, 9 四個數中挑選一或二個數組成(例如：挑選 1，組出 11；挑選 1, 3，組出 13 或 31)。
規則 2：後面上台的同學所寫的二位數不能和前面同學寫的數字重複。
規則 3：同學輪流上台，直到無法再找出符合條件的二位數。
王老師從黑板上的數當中，挑選出一個數，此數為質數的機率為何？(A)(B)(C)(D)

5. 如下圖，△ABC 為直角三角形。分別以為直徑，向外作一半圓。若上的半圓弧長為 4π，上的半圓 面積為π，則上的半圓之半徑為何？
(A) 7 (B) 7.5 (C) 8 (D) 8.5

6. 如下圖。矩形 PQRS 被互相垂直的兩條直線分成四個小矩形，使得= 10，= 4，= 3，= 8。求灰色部分面積與矩形 PQRS 面積的比值為何？
(A) (B)(C)(D)

7. 大 P 商場慶祝週年慶，將專櫃的商品一律改為特價商品。已知此專櫃裡 10 件特價商品中，就有 2 件是瑕疵品。小美從專櫃裡隨意挑選 3 件特價商品，她最多只挑中 1 件瑕疵品的機率為何？ (A) (B)(C)(D)

8. 甲、乙、丙、丁 4 人的學測成績如下表。若甲對乙、甲對丙、甲對丁成績的迴歸直線斜率依序為 α、β、γ， 下列哪個選項是 α、β、γ 的關係？
(A) α ＞β= γ (B) α = β = γ (C) α ＜ β ＜ γ (D) γ ＞ β = α

9. 若 a, b, c ∈ R，2x² + x + 3 = ax(x − 1) + bx(x − 3) + c(x − 1)(x − 3)。求 a+b+c 之值為何？ (A) 1 (B) 2 (C) (D)

10. 下列哪個選項的圖形可能是 y = ax² + b 與 y= ax + b 的圖形？ (A)(B)(C)(D)

11. 將數據標準化之後，稱為 Z 分數；但是，生活中較常使用的是 T 分數。將 Z 分數轉換為 T 分數的公式是T =10 × Z + 50。已知有一組兩兩相異的數據 x₁, x₂, x₃, …, (標準差為)，其對應的 T 分數為 t₁, t₂, t₃, …,。
四位學生針對上述情形提出主張如下：
甲：此組數據對應的 T 分數一定兩兩相異。
乙：此組數據對應的 T 分數一定都介於 0～100 之間。
丙：此組數據對應的 T 分數的算術平均數為 50，標準差為 10。
丁：此組數據對應的 T 分數與原來數據 x1, x2, x3, …, xn的相關係數為 1。
哪些學生提出的主張正確？(A) 只有甲和乙 (B) 只有乙和丙 (C) 只有甲、丙和丁 (D) 甲、乙、丙和丁都正確

12. 下列哪些不等式的解，在數線上畫出的區間長度等長？
(A) 只有甲和乙 (B) 只有甲、乙和丙 (C) 只有甲、乙和丁 (D) 只有甲、乙和戊

13. 小新參加「誰是大胃王」比賽，在限定時間 30 分鐘內，全體參賽選手的成績計算如下表：

 小新比賽時分別吃下 48 碗拉麵和 22 條壽司捲。
請問：以全體參賽選手的表現來說，下列描述何者正確？ (A) 因為 48 ＞ 22，所以小新吃拉麵的實力比吃壽司捲的實力高 (B) 因為 48 − 90 ＜ 22 − 40，所以小新吃壽司捲的實力比吃拉麵的實力高 (C) 因為，所以小新吃壽司捲的實力比吃拉麵的實力高 (D) 一定有人吃了 132 碗以上的拉麵

14. 多項式 f(x) =，且f (−3) = 4。求 f(3) 之值為何？ (A) 7 (B) −7 (C) 4 (D) −4

15. 有一函數f(x) =，求f(x)在 x = 0 的導數 f′ (0)之值為何？ (A) (B)(C)(D)

16. 試求之值為何？ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

17. 若直線 L 通過點(9, 5)且與函數 y = f(x) 的圖形相切於點(3, 1)。求之值為何？ (A) (B)(C)(D)3

18. 求定積分之值為何？ (A) (B)(C)(D)

19. 試求 sinx 之值為何？ (A) −1 (B) 0 (C) 1 (D) 不存在

20. 若函數f(x) =，試求此函數在那些實數點上不可微分？ (A) 當 x= 0時，此函數不可微分 (B) 當 x= 0 和時，此函數不可微分 (C) 當 x= 和 −時，此函數不可微分 (D) 當 x= 0 和 ±時，此函數不可微分

21. 設 A、B、C 均為二階方陣，I=為二階單位方陣，O=為二階零矩陣，det( A )為矩陣 A 的行列式值。 針對矩陣運算，下列敘述何者正確？ (A) AI=IA 恆成立 (B) AB=BA 恆成立 (C) (A + B)² = A² + 2AB + B²恆成立 (D) 若 AC= BC，則 A=B

23. 當 x 趨近於 6，求函數f(x) =的極限為何？ (A) 1 (B) -1 (C) 不存在 (D) 以上皆非

24. 求函數f(x)=在下列哪個區間是連續？ (A)(−∞,4] (B)(4,5] (C)[5,∞) (D)(5,∞)

25. 求函數f(x)=的導數(derivative)為何？(A)(B)(C)(D)

26. 當 x 趨近於 4，求函數f(x)=的極限為何？ (A)(B)(C)(D)

27. 求函數f(x)=x³-9x²+27x-27的二階導數並解方程式=0之解為何？ (A)x =1 (B)x = 2 (C)x = 3 (D)x = 4

30. 求矩陣的秩(rank)為何？ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 以上皆非

31. 求矩陣的行列式(determinant) 為何，其中i =？ (A) 24 (B)12+12i (C) −24 (D)12−12i

32. 方程式4x²+7-13x=0的兩根之和為a₁及兩根之積為a₂，求a₁-a₂=？ (A) 5 (B) −5 (C)(D)

34. 若將指數式=5轉換成對數式時，x 是多少？ (A)log₅x=2 (B)log₂5=x (C)log₅2=x (D)log₂x=5

35. 點(2,1)到直線x + 2y = k之距離為，則 k 的值可能為何？ (A) 3 (B) 0 (C) −3 (D) −5

36. 下列哪一點在球面 x² + y² + z² = 1 上？ (A)(B)(1,0,1) (C)(D)

38. 試求有多少個正整數 n 使得為整數？ (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4 個

39. 下列何者是 x 的多項式？ (A)(B) (C)(D)

42. 擲一均勻硬幣 3 次，每出現一次正面得 5 元，一次反面賠 2 元，則所得期望值為何？ (A)(B)(C) (D)

43. 若一數列滿足 a₁＝1，，n ≥ 1，試求＝？ (A) 2n＋1 (B) 2n－1 (C) (D)

44. 數列〈〉滿足 a₁＝1，，n＝1，2，3，…，則＝？ (A) 25 (B) 30 (C) 40 (D) 50

46. 設為二等差數列，試問下列敘述何者恆正確？ (A)為等差數列 (B)為等差數列 (C)為等比數列 (D)為等比數列

47. 下圖中 A，B，C 代表宇集 U 中三個集合，試問著色部分代表下列哪個選項？
(A) A′∩B∩C (B) A′∪B∩C (C) A′∩B∪C (D) A′∪B∪C

50. 以 5 種不同顏色塗在下圖中，但相鄰須異色，則有幾種不同塗法？
(A) 120 (B) 230 (C) 240 (D) 260

53. 設 f(x) = 的展開式中，係數和為 a，奇次項係數和為 b，偶次項係數和為 c，則 a＋b＋c 的 值為何？ (A) －1 (B) －2 (C) 1 (D)2

54. 高一某班共有 36 人，教室中有 36 個位子。今天要抽籤換新座位，但小華請假沒有來上學，因此全班抽完剩下的位子 就是他的新座位，請問他的新座位恰好就是原來座位的機率為何？ (A)(B)(C)(D)

55. 一袋中有 3 個白球，5 個紅球，由袋中一次取出三球，求至少有兩個紅球之機率為何？ (A)(B)(C) (D)

56. 投擲一顆公正骰子兩次，則兩次中至少有一次出現 2 點的機率為何？ (A)(B)(C)(D)

57. 丟兩個公正骰子，試問點數和為 3 的倍數之機率為何？ (A)(B)(C)(D)

58. 袋中有 4 個紅球、5 個白球。由袋中每次任取一球，取後不放回，則白球先被取完的機率為何？ (A)(B)(C)(D)

59. 對於 0 ＜ p ＜ 1 求級數和 p + 2p² + 3p³ + … =？ (A)(B)(C)(D)

63. 擲一個四面且公平的骰子，也就是說，自 {1, 2, 3, 4} 隨機挑選一個數字。假定事件 A={1, 2}， B={1, 3}，C={1, 4}。 請問 P(A∩B)和 P(A∩B∩C)之值分別為何？ (A)(B)(C)(D)

64. A 擲一個骰子，B 擲一個硬幣，遊戲規則：
(1) 如果 A 擲出 6 點，A 贏；
(2) 如果 A 沒擲出 6 點，B 擲出頭像，A 輸；
(3) 如果沒輸贏，遊戲繼續下去，擲到出現輸贏。
求 A 贏的機率 =？(A)(B)(C)(D)

68. 下列那一個答案是矩陣的特徵值(eigenvalue)？ (A) 1 (B)(C)(D) 1 − i

69. 參考下圖，用不等式表示弧線陰影區。下列哪個不等式的圖形表示此弧線陰影區？
(A) y² + 1 ＜ x 且 3xy ＞ 1 (B) y² + 1 ＞ x 或 3xy ＞ 1 (C) 3xy ＜ 1 或 x − 1 ＞ y² (D) 3xy ＞ 1 且 x − 1 ＜ y²

70. 方程式= 1有幾個實數根？ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

71. 以下哪一個大小順序正確？ (A)(B)(C)(D)

73. 求=？ (A) 1 (B) −1 (C) 1+i (D) −1+i

74. 設 = 1,= 1, , ，. 若 θ為向量與之夾角， 則cos θ =？ (A) (B)(C)(D)

75. 下列何者不是 13 的倍數？ (A)(B)(C)(D)

78. 若一個函數 f，恆滿足，試求 24f(3) − 16f(2)的值為何？ (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15

79. 設點 A(0, 3)，P 為雙曲線 4x² − y² = 4 上任一點，則之最小值為何？ (A)(B)(C)(D)

80. 設 P, Q, R 三點在△ABC 的內部，且。若 ，則 x + y 之值為何? (A)(B)(C)(D)

81.介於下列哪兩個整數之間？ (A) 3, 4 (B) 4, 5 (C) 5, 6 (D) 6, 7

82. 設f(x) 為三次多項函數，滿足=-3，=5，求的值為何？ (A)2 (B)4 (C)6 (D)8

83. 設(x , y)=(a, b) 為聯立方程式的解，求的值為何？ (A)6 (B)2 (C)(D)

84. 設f(x)=，求的值為何？ (A) −16 (B) −12 (C) −10 (D) −8

85. 設f(x)為一實係數多項式，degf(x)≥2。已知 f(x) 除以 x +1 的餘式為−1，f(x)除以 x − 2 的餘式為5 ，求f(x)除以x²-x−2的餘式為何？ (A)2x+2(B)2x+1 (C)2x-1 (D)2x-3

86. 設，且兩向量夾角為60° ，求的值為何？ (A)5 (B)(C)7 (D)

87. 求不等式的解範圍為何？ (A)x<3,4<x<5(B) (C)(D)

88. 求矩陣的行列式值為何？ (A) −6 (B) −8 (C) −10 (D) −12

89. 已知 A( 1, −1,1) , B (−3, 2,1) , C (5, −4,3) 為空間中三點，求△ ABC 的面積為何？ (A) 20 (B) 10 (C) 5 (D)

91. 已知，求的值為何？ (A) 1 (B) −1 (C)(D)

92. 求極限的值為何？ (A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) 不存在

93. [x]代表高斯符號，求積分的值為何？ (A) 5 (B) 12 (C)(D)

94. 考慮在坐標平面上的曲線 C: x³ + y³ − 9xy = 0. 已知點 (2,4) 在 C 上。求過此點的切線斜率為何？ (A) 2 (B) (C) (D)

96. 假設 tanα, tanβ 是一元二次方程式 ax² + bx + c = 0, (b ≠ 0) 的兩個根，求 cot(α + β) 的值為何？ (A) (B)(C)(D)

97. 求方程式= 0 的解集合為何？ (A)(B) {1, 5} (C)(D)

98. 試求=？ (A) 0 (B) (C) 1 (D) 2

99. 已知 4x³ − 24x² + 23x + 18 = 0 的三根成等差數列，求其根為何？ (A)(B)(C) (D)

100. 試求函數 f(x) = (x + 2)(x + 5)² 的反曲點為何？ (A)(B)(C)(-4，-2) (D)(-3，-4)