114年 - 114-1 國立臺南女子高級中學_教師甄選初試題目：數學科#125995

1. 試求=________。

2. 設函數f(x)  =x3+ax²+bx+c，(x ∈ R)，其中 a，b，c 為互不相同的非零整數，且f(a) =a3 ，f(b) = b³，則 a+b +c  為何？

3. 設三次函數 ，求的值。

4. 在空間中有一四邊形，已知= 2，= 3， = 4， = 5，試求＝？

5. 已知對所有的實數 ，二次函數 y=bx+c+≥ 0，且 a＜b ，則的最小值為何？

6. 設∆ABC 是單位圓 Γ的一個內接正三角形。 若 P 點為圓 Γ上一動點，求 P 點分別到 A、B、C 三點的 三個連線段的平方和之最大值及最小值之和為________。

7. 已知數列 (對任意正整數n 都成立)且 a₁ = 2，求滿足不等式 的最小自然數 n = ______。 (已知 log 2≈0.3010)

8. 正四面體 ABCD 中，設點 P 為邊的中點，點 Q 在邊上移動。求 cos ∠PDQ 的最大值為______。

9. 有一副紙牌共有 50 張，其中有三張 A，隨機地洗牌，然後從最上面開始一張接一張地攤牌，直到翻 出第二張 A 出現為止，試求：翻過的牌數的期望值。

10. 若實數 x ＞ 1滿足 log₂(log₄x ) log₄ (log₂ x)，則  (log₄ x)+ log₄(log₂ x) 的值為何？

11. 有一個四列四行的表格如下圖，在 16 個空格中分別任意填入1, 2, ,15,16 ⋯ 這 16 個連續正整數(不得重複)，每個空格恰填入一個數，則每行、每列所填的數之和都是偶數的機率為何？

12. 設實數k ＞ 0，已知函數 y =f(x)=√3 sin(kx)+cos(kx)+cos(kx)在區間 的圖形恰有一個最高點，也恰有 一個最低點，求k 的範圍。

 (1) 試求 。

(2) 設 x, y 均為非負實數且滿足 x + y = 1。若   ，求 r, s。(以 x, a, b 表示) 

(3) 承(2)，設 ，試證：若(a, b) ≠ (0, 0)，則均為收斂數列。

 (1) 若正整數 n 滿足 f (n) = 5，求 n 的最大值與最小值。

(2) 在所有滿足 n ≤ 2025 的正整數 n 中，求使得 f (n) ＞ f (n + 1) 的 n 共有幾個? (5 分)

3. 試證明：對任意的實數 a，b，c，都有   ，並說 明等號成立的充要條件。

4. 設二階實係數方陣滿足行列式det(A)=1 ，O 是坐標平面的原點，對於所有的正整數n，平面上的點滿足 。若，試證明對於所有的正整數n， 。