所屬科目：抽樣方法
一、⑴假設是一個僅僅包含四個元素的小規模有限母體（finite population），而四個元素的研究變數（study variable）值分別為 y1=1、y2=3、y3=3 以及 y4=9。我們採用不置回的簡單隨機抽樣（simple random sampling without replacement）從母體 之中抽出樣本大小（sample size）為 n=2 的樣本組合，並以 Y1, Y2來表示此樣本組合中的兩個樣本數據（註：採用大寫英文字母 Y，表示樣本 數據皆為隨機變數）。試求 Y1與 Y2的聯合機率分佈（joint probability distribution） 以及 Y1與 Y2的共變異數（covariance）。（15 分）
二、⑴假設某一個有限母體可被完整地切割為L個互不相交的層別（strata），其中第h層 之層大小（stratum size）為Nh，第h層之第j個元素的研究變數值為yhj，h=1,…,L， j=1,2,…,Nh。母體大小（population size）、母體平均數（population mean）以及母體 變異數（population variance）的數學式分別為
其次，母體中第 h 層之層平均數（stratum mean）以及層變異數（stratum variance） 的數學式分別為
試證明下列等式：
其中 為第 h 層的層比重（stratum weight），h = 1, ..., L。 （10 分）
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是一個僅僅包含四個元素的小規模有限母體（finite population），而四個元素的研究變數（study variable）值分別為 y1=1、y2=3、y3=3 以及 y4=9。我們採用不置回的簡單隨機抽樣（simple random sampling without replacement）從母體 之中抽出樣本大小（sample size）為 n=2 的樣本組合，並以 Y1, Y2來表示此樣本組合中的兩個樣本數據（註：採用大寫英文字母 Y，表示樣本 數據皆為隨機變數）。試求 Y1與 Y2的聯合機率分佈（joint probability distribution） 以及 Y1與 Y2的共變異數（covariance）。（15 分）
為第 h 層的層比重（stratum weight），h = 1, ..., L。 （10 分）