114年 - 114 國立嘉科實驗高級中學_國中部教師甄選試題：數學科#126862

1. 拋物線 y = ax² + bx + c ，頂點為 (3,2) ，已知係數 a, b, c 成等比，則 a 值為何？ (A) (B) (C)(D)

2. 如圖(一)， △ ABC 中，∠ACB = 90°， 上有兩點E 與 F ，使。若∠FCE = x°，下列哪一個選項正確？
(A)x = 30 (B)x = 45 (C)30 ＜ x ＜ 45 (D)x = 60

3. 小明利用火柴棒排出有規律的圖案如下：

要排出第 2 個圖案，共需要 10 根火 柴棒；要排出第 3 個圖案，共需要 18 根火柴棒…。請問，小明要排出第 100 個圖案，共需要幾根火柴棒？ (A)10288 (B) 10300 (C) 10308 (D) 11308

4. 若 α   , β 為方程式x² − 3x − 1 = 0之兩根，則(α⁵ + β⁵ ) − 3(α⁴ +β⁴ )之 值為多少？ (A)1 (B)9 (C)33 (D)36

5. 小寬的冰箱中有 3 顆相同的巧克力及 3 個相同的布丁，共 6 個點心。小 寬決定在下星期的五天內(星期一至星期五)將點心吃完，從星期一起每天至少 吃一個點心，直到冰箱內的巧克力及布丁吃完為止。

星期一的第一個點心從冰箱隨機選擇一個點心，吃完後，小寬接著再隨機選下一個點心，可繼續吃或等到隔天第一個吃。若選擇隔天再吃，當日就不再吃點 心，剩下的點心都採用這個原則。不過，若星期五當天如果還有點心剩下兩個以上，則吃完第一個點心後，剩下的隨機一個一個依序吃完。

例如：三天吃完→，或五天吃完→。 根據這個原則，小寬點心吃完不同的順序方法有幾種？ (A)31 (B)32 (C)620 (D)640

1.一個「四次方」正立方體骰子，是指六個面分別刻上「1⁴ , 2⁴ , 3⁴ , 4⁴ , 5⁴ , 6⁴ 」 數字的正六面體骰子。小明每次同時投擲一枚「紅色的『四次方』正立方體骰子」和一枚「藍色的『四次方』正立方體骰子」。每次投擲完畢後，計算「紅 色骰子獲得的數字除以藍色骰子獲得的數字」的結果，所得之「商」為整數的機率為_____ 。

2.坐標空間中，若兩直線L₁：與L₂： ，則由L₁、 L₂所決定的平面方程式為_____。(以一般式表示)

3.小美做實驗，獲得一組數據 x₁，x₂，⋯，xn ，這組數據的算術平均數為 15，標 準差為 5。小美想針對這組數據進行調整，他決定將改變後的數據與原先的數 據變成以下的線性關係式：+ 70，i=1, 2, 3, ⋯, n，則新數據 y₁，y₂， ⋯，的算術平均數與標準差的和為 _____。

4.設 s 是由所有正整數 1, 2, 3, … 2000, …所形成的集合， 即 s = {1, 2, 3, 4, 5, … , 2000, … } 。若 s ′ 為 s 刪除「完全平方數」後，剩下的這些數所形成的集合，則該集合 s ′ 中，由小到大的第 2025 項為 _____。 (註：? ?=1 視為完全平方數)

5.如圖(二)。四邊形ABCD為正方形，若P,Q兩點分別在上，使得∆DPQ為正三角形，且 = 1。則正方形 ABCD的面積為_____。

6.若 A(12,0) 、 B(0,5) ， O為原點， P 為 ∆OAB 內部一點，自 P 點作之垂線，垂足為 C 點，若 有最小值 k ，則 k = _____。

7.如圖(三)，梯形ABCD中，，已， 梯形ABCD面積為48，∆CDP面積為13，則∆PDE與 ∆PCF之面積和為_____。

三、計算題：
1.一個邊長大於 3 的凸 n 邊形，它的n個內角滿足下列兩個條件：

①第 2 個內角比第 1 個內角大 20° ，第 3 個內角比第 2 個內角大 20°，…， 第 n 個內角比第(n－1)個內角大 20° 。

②此凸 n 邊形最小角的角度是 40° 。 試求n值。

2.試求滿足2026x + 115y = 1，且0 ＜ y ＜ 1000的所有整數解(x, y)。 

四、數學教材教法申論：
 1.《孫子算經》是中國古老的數學書之一，其下卷的內容提及一道數學問題如 下圖(四)。並且，該書也提出一個解題策略如下圖(五)：

(1) 請針對上圖(五)提到的解題策略，說明其意涵並解出答案。

(2) 針對本道問題，請列出代數式並進行解題。

 (3) 將數學史融入課程並進行教學，藉此活化課室學習氛圍、拉近數學與學 生的距離、提升學生對數學的熱情以及學習數學的自信心，是《十二年 國民教育數學領域課程綱要》的基本理念之一，也讓「數學史」在我國 數學領域課程綱要中尋得一席之地。

請針對國民中學數學領域的範疇，提出一個「   將數學史融入課程設計   」 的案例，並說明此案例為何能夠活化課室學習氛圍、拉近數學與學生的 距離、提升學生對數學的熱情或學習數學的自信心？

(1)   教學工具的觀點與應用   ：請比較並闡述，在教導「外心」概念(包含定義、 性質與找法)時，您認為傳統的尺規作圖與使用動態幾何軟體 (GGB) 各 有哪些教學上的優點與限制？

(2)   教學脈絡設計   ：請說明您規劃的教學步驟或流程。如何引導學生理解外心 的定義、學習找出外心的方法(使用您選擇的工具)，探索並驗證其「到 三頂點等距」的核心性質，以及外心位置與三角形類型(銳角、直角、鈍 角)的關係？

(3)   預期的學生迷思與因應   ：根據您的教學經驗，學生在學習「外心」時，最可能產生哪些迷思概念或操作上的困難？(請列舉三項)

(4)   活動設計   ：針對這些預期的迷思或困難，您會設計哪些具體的教學活動或提問來幫助學生釐清觀念、克服困難，並深化對外心概念的理解。