91年 - 91 二技統測_光電類_專業科目(二)：微積分#144862

科目：【阿摩】未分類題庫 | 年份：91年 | 選擇題數：25 | 申論題數：0

試卷資訊

所屬科目：【阿摩】未分類題庫

選擇題 (25)

1. 試求不等式：$4 < |x1| + |x+2| < 5$ 的解？

(A) $x > 2$

(B) $x < 3$

(C) $\frac{5}{2} < x < \frac{3}{2}$

(D) $3 < x < \frac{5}{2}$ 或 $\frac{3}{2} < x < 2$
2. 設 $f(x) = x^2 + cx + 1$。若 $f(x)$ 為一偶函數，則 $c$ 值應為何？

(A) $1$

(B) 0

(C) 1

(D) 2
3. 兩直線分別以方程式表示為 $2x 3y = 1$ 與 $kx + 5y = 2k$。若兩直線垂直，則 $k$ 值應為何？

(A) $\frac{15}{2}$

(B) $\frac{15}{2}$

(C) $\frac{2}{15}$

(D) $\frac{2}{15}$
4. 求通過曲線 $x^2 + 2xy 3y^2 = 9$ 上一點 $(3, 2)$ 的切線方程式？

(A) $y 2 = x 3$

(B) $y 2 = (x 3)$

(C) $y 2 = \frac{5}{3}(x 3)$

(D) $y 2 = \frac{3}{5}(x 3)$
5. 設 $f(x) = \begin{cases} 3x, & x \leq 2 \\ cx^2, & x > 2 \end{cases}$。若要極限值 $\lim_{x \to 2} f(x)$ 存在，則 $c$ 值應為何？

(A) $\frac{1}{3}$

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\frac{2}{3}$

(D) $\frac{3}{2}$
6. 求極限值 $\lim_{x \to 0} \frac{|x|^5 + x^5}{x} = ?$

(A) 0

(B) 1

(C) $1$

(D) 極限值不存在
7. 求極限值 $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} = ?$

(A) 0

(B) 1

(C) $1$

(D) 極限值不存在
8. 已知 $\lim_{x \to 4} (2x 5) = 3$。若給定 $\varepsilon = 0.1$，試求 $\delta$ 值使得當 $0 < |x 4| < \delta$ 時，不等式

$|(2x 5) 3| < \varepsilon$ 恆成立？

(A) $\delta = \varepsilon = 0.1$

(B) $\delta = 2\varepsilon = 0.2$

(C) $\delta = 3\varepsilon = 0.3$

(D) $\delta = \frac{1}{2}\varepsilon = 0.05$
9. 設 $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{(x^2 + 1)}, & x > 1 \\ \frac{(x + 1)}{(x^2 1)}, & x < 1 \end{cases}$。若要求 $f(x)$ 在 $x = 1$ 處連續，則 $k$ 值應為何？

(A) $1$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{1}{4}$
10. 設 $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \geq 2 \\ 2x 1, & 1 < x < 2 \end{cases}$。下列敘述何者為真？

(A) $f(x)$ 在 $x = 2$ 處不連續 (B) $f(x)$ 在 $x = 1$ 處不連續
(C) $f(x)$ 在 $x = 2$ 與 $x = 1$ 處皆不連續 (D) 對於所有的 $x \in \mathbf{R}$，$f(x)$ 皆連續
11. 求不定積分 $\int x \sin(2x) dx = ?$

(A) $x \cos(2x) + \sin(2x) + C$ (B) $x \sin(2x) \cos(2x) + C$
(C) $\frac{1}{4}[2x \cos(2x) + \sin(2x)] + C$ (D) $\frac{1}{4}[2x \sin(2x) \cos(2x)] + C$
12. 若 $y = x^{\ln x}$，則 $\frac{dy}{dx} = ?$

(A) $(\ln x)x^{\ln x 1}$ (B) $\frac{(2 \ln x)}{x}$ (C) $\frac{(2x^{\ln x})}{x}$ (D) $\frac{2(\ln x)(x^{\ln x})}{x}$
13. 若 $F(x) = \sqrt[3]{(1 + x^2)^4}$，求 $F'(x) = ?$

(A) $\frac{4}{3}(1 + x^2)^{\frac{1}{3}}$ (B) $\frac{8}{3}x(1 + x^2)^{\frac{1}{3}}$ (C) $2x(1 + x^2)^{\frac{1}{3}}$ (D) $\frac{2}{3}x(1 + x^2)^{\frac{1}{3}}$
14. 設 $f(x) = \frac{1}{(3 + x)}$，求 $f^{(n)}(x) = ?$(其中 $n$ 表示 $n$ 次微分)

(A) $\frac{2n}{(3 + x)^{n+1}}$ (B) $\frac{(1)^n(2n)}{(3 + x)^{n+1}}$
(C) $\frac{(1)^n(n!)}{(3 + x)^{n+1}}$ (D) $\frac{(1)^n(n)}{(3 + x)^{n+1}}$
15. 設 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ x^2, & x < 0 \end{cases}$。下列敘述何者為真？

(A) 對於所有的 $x \in \mathbf{R}$，$f'(x) = 2|x|$
(B) $f'(x)$ 在 $x=0$ 處不存在
(C) $f''(0) = 0$
(D) 對於所有的 $x \in \mathbf{R}$，$f''(x) = 2$
16. 設 $f(x) = xe^{x^2}$。若 $m, M$ 分別表示 $f(x)$ 的最小值與最大值，則 $m, M$ 的值應為何？

(A) $m = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{2}}, M = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{2}}$
(B) $m = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{\frac{3}{2}}, M = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{\frac{3}{2}}$
(C) $m = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{2}}, M = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{\frac{3}{2}}$
(D) $m = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{\frac{3}{2}}, M = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{2}}$
17. 設 $f(x) = \frac{2x^2}{x^2+3}$，試求函數 $f(x)$ 的水平漸近線？

(A) $y=0$
(B) $y=1$
(C) $y=2$
(D) $y=3$
18. 設 $f(x) = 3x^2 5x + 1$，試求介於 2 與 5 之間的一實數 $\xi$ 使得 $f'(\xi) = \frac{f(5) f(2)}{5 2}$

(A) $\xi = \frac{5}{2}$
(B) $\xi = \frac{7}{2}$
(C) $\xi = \frac{9}{2}$
(D) $\xi = \frac{7}{3}$
19. 某個人電腦製造商每月生產並銷售 $x$ 部個人電腦的利潤為 $P(x) = 0.01x^2 + 60x 500$ 元。為了獲得最大的利潤，每月需生產多少部電腦？

(A) 1500 部
(B) 2000 部
(C) 3000 部
(D) 3500 部
20. 求 $f(x) = 3x^2 + 4x 5$ 在區間 $[1, 3]$ 的平均值？

(A) 15
(B) 16
(C) 7.75
(D) 23.75
21. 對於任意自然數 $n$，求 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \Lambda + \frac{1}{n(n+1)} = ?$

(A) $\frac{n}{(n+1)}$
(B) $\frac{(2n+1)}{(n^2+n)}$
(C) $\frac{2n}{(n+1)}$
(D) $\frac{(n+2)}{(n+1)}$
22. 求定積分 $\int_1^2 \left( \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \right) dx = ?$

(A) $2 \ln 2 + \frac{3}{2}$

(B) $2 \ln 2 + \frac{4}{3}$

(C) $2 \ln 2 + \frac{2}{3}$

(D) $2 \ln 2 + \frac{3}{4}$
23. 求定積分 $\int_0^4 e^{\sqrt{x}} dx = ?$

(A) $\frac{1}{2}(e+2)$

(B) $2(e^2+1)$

(C) $\frac{1}{2}(e^2+1)$

(D) $e+2$
24. 求在曲線 $y = (x1)e^x$ 之下，由 $x=1$ 至 $x=2$ 所圍成區域的面積？

(A) $e^2$

(B) $\frac{1}{2}e$

(C) $2e$

(D) $e$
25. 求 $\int_{1}^2 |x^2 x| dx = ?$

(A) 3

(B) 2

(C) $\frac{11}{6}$

(D) $\frac{4}{3}$

申論題 (0)